Question

已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，有一個(gè)圓心角為45°，半徑長(zhǎng)等于CA的扇形CEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，直線CE、CF分別與直線AB交于點(diǎn)M、N．
（1）如圖①，當(dāng)AM=BN時(shí)，將△ACM沿CM折疊，點(diǎn)A落在弧EF的中點(diǎn)P處，再將△BCN沿CN折疊，點(diǎn)B也恰好落在點(diǎn)P處，此時(shí)，PM=AM，PN=BN，△PMN的形狀是

 

．線段AM、BN、MN之間的數(shù)量關(guān)系是

 

；
（2）如圖②，當(dāng)扇形CEF繞點(diǎn)C在∠ACB內(nèi)部旋轉(zhuǎn)時(shí)，線段MN、AM、BN之間的數(shù)量關(guān)系是

 

．試證明你的猜想；
（3）當(dāng)扇形CEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)至圖③的位置時(shí)，線段MN、AM、BN之間的數(shù)量關(guān)系是

 

．（不要求證明）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)知：△CAM≌△CMP、△CNB≌△CNP，所以∠A+∠B=∠FPC+∠EPC=90°，首先可得到△PMN是直角三角形，故PM、AM、BN的數(shù)量關(guān)系符合勾股定理，即AM²+BN²=MN²；而AM=BN，所以可得到PM=PN，即△PMN是等腰直角三角形，因此PM=PN=

2

2

MN．
（2）參照（1）的思路，可將△ACM沿CM折疊，得△DCM，然后連接DN，證△DCN≌△BCN，后面的解法同（1）．
（3）解法同（2）．

解答：解：（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)知：
△CAM≌△CPM，△CNB≌△CNP；
∴AM=PM，∠A=∠CPM，PN=NB，∠B=∠CPN；
∴∠MPN=∠A+∠B=90°，PM=PN=AM=BN，
故△PMN是等腰直角三角形，AM²+BN²=MN²（或AM=BN=

2

2

MN）．

（2）AM²+BN²=MN²；
將△ACM沿CM折疊，得△DCM，連DN，則△ACM≌△DCM，
∴CD=CA，DM=AM，∠DCM=∠ACM，同理可知∠DCN=∠BCN，
△DCN≌△BCN，DN=BN，而∠MDC=∠A=45°，∠CDN=∠B=45°
∴∠MDN=90°，
∴DM²+DN²=MN²，
故AM²+BN²=MN²．

（3）AM²+BN²=MN²；解法同（2）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圖形的翻折變換以及勾股定理的應(yīng)用，難度適中．