【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,點D是AC的中點,且∠A+∠CDB=90°,過點A,D作⊙O,使圓心O在AB上,⊙O與AB交于點E.

(1)求證:直線BD與⊙O相切;
(2)若AD:AE= ,BC=6,求切線BD的長.

【答案】
(1)證明:連接OD
∵OA=OD,

∴∠A=∠ADO(等邊對等角).

又∵∠A+∠CDB=90°(已知),

∴∠ADO+∠CDB=90°(等量代換),

∴∠ODB=180°﹣(∠ADO+∠CDB)=90°,即BD⊥OD.

又∵OD是圓O的半徑.

∴BD是⊙O切線


(2)解:連接DE,則∠ADE=90°(圓周角定理).

∵∠C=90°,

∴∠ADE=∠C,

∴DE∥BC,

又∵D是AC中點,

∴DE是△ABC的中位線,

∴DE= BC=3,AE=BE.

∵AD:AE= ,

在直角△ADE中,利用勾股定理求得AE=3 ,則AB=6

∴BD2=ABBE=6 ×3 =54,

∴BD=3


【解析】(1)要證明BD是⊙O切線,由題意可知點D在圓上,因此連接OD,需證OD⊥BD,就要證∠ODB=90°,根據(jù)已知易證∠ADO+∠CDB=90°,即可證得結(jié)論
(2)先證明DE∥BC,由D是AC中點,可證得DE是△ABC的中位線,即可求得DE的長,再根據(jù)AD與AE的比值及勾股定理,就可以求得AE、AB的長,然后根據(jù)切割線定理得出BD2=ABBE,從而可求得BD的長。
【考點精析】掌握勾股定理的概念和三角形中位線定理是解答本題的根本,需要知道直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2;連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線;三角形中位線定理:三角形的中位線平行于三角形的第三邊,且等于第三邊的一半.

練習(xí)冊系列答案
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(1)若該客戶按方案購買,需付款______________元(用含x的代數(shù)式表示);若該客戶按方案購買,需付款________________用含x的代數(shù)式表示);

(2)若x=30,通過計算說明此時按哪種方案購買較為合算?

(3)當(dāng)x=30時,你能給出一種更為省錢的購買方案嗎?試寫出你的購買方法。

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2)現(xiàn)有長方形鐵片2014張,正方形鐵片1176張,如果加工成這兩種鐵容器,剛好鐵片全部用完,那么加工的豎式鐵容器、橫式鐵容器各有多少個?

3)把長方體鐵容器加蓋可以加工成為鐵盒.現(xiàn)用35張鐵板做成與如圖相同的長方形鐵片和正方形鐵片,已知每張鐵板可做成3個長方形鐵片或4個正方形鐵片,也可以將一張鐵板做成1個長方形鐵片和2個正方形鐵片.該如何充分利用這些鐵板加工成鐵盒,最多可以加工成多少個鐵盒?

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2)以上結(jié)果可以驗證哪個乘法公式?

請寫出這個乘法公式__ ____;

3)利用(2)中得到的公式,

計算:

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