Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直角梯形OABC的邊OA在y軸的正半軸上，OC在x軸的正半軸上，OA＝AB＝2，OC＝3，過點(diǎn)B作BD⊥BC，交OA于點(diǎn)D．將∠DBC繞點(diǎn)B按順時針方向旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別交y軸的正半軸、x軸的正半軸于點(diǎn)E和F．

（1）求經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；

（2）當(dāng)BE經(jīng)過(1)中拋物線的頂點(diǎn)時，求CF的長；

（3）在拋物線的對稱軸上取兩點(diǎn)P、Q（點(diǎn)Q在點(diǎn)P的上方），且PQ＝1，要使四邊形BCPQ的周長最小，請直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3）（1，）．

【解析】

試題分析：（1）先根據(jù)題意得到點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法即可求得結(jié)果；

（2）先把（1）中的函數(shù)關(guān)系式配方為頂點(diǎn)式，即可求得頂點(diǎn)坐標(biāo)，過G作GH⊥AB，垂足為H．即可得到AH＝BH＝1，GH＝－2＝．由EA⊥AB，GH⊥AB，可得GH是△BEA的中位線，從而可得EA＝3GH＝．過B作BM⊥OC，垂足為M．MB＝OA＝AB．由∠EBF＝∠ABM＝90°，可得∠EBA＝∠FBM＝90°－∠ABF．即可證得Rt△EBA≌Rt△FBM．再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求得結(jié)果；

（3）要使四邊形BCPQ的周長最小，可將點(diǎn)C向上平移一個單位，再做關(guān)于對稱軸對稱的對稱點(diǎn)C₁，得點(diǎn)C₁的坐標(biāo)為（－1，1）．可求出直線BC₁的解析式為．再求的直線與對稱軸x＝1的交點(diǎn)即為點(diǎn)Q，坐標(biāo)為（1，）．從而得到結(jié)果．

（1）由題意得A（0，2）、B（2，2）、C（3，0）.

設(shè)經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=ax²+bx+2.

則解得   

∴；

（2）由＝．

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為G（1，）．

過G作GH⊥AB，垂足為H．

則AH＝BH＝1，GH＝－2＝．

∵EA⊥AB，GH⊥AB，

∴EA∥GH．

∴GH是△BEA的中位線 ．

∴EA＝3GH＝．

過B作BM⊥OC，垂足為M ．

則MB＝OA＝AB．

∵∠EBF＝∠ABM＝90°，

∴∠EBA＝∠FBM＝90^°－∠ABF．

∴Rt△EBA≌Rt△FBM．

∴FM＝EA＝．

∵CM＝OC－OM＝3－2＝1，

∴CF＝FM＋CM＝；

（3）要使四邊形BCPQ的周長最小，可將點(diǎn)C向上平移一個單位，再做關(guān)于對稱軸對稱的對稱點(diǎn)C₁，得點(diǎn)C₁的坐標(biāo)為（－1，1）．可求出直線BC₁的解析式為． 

直線與對稱軸x＝1的交點(diǎn)即為點(diǎn)Q，坐標(biāo)為（1，）．點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，）．

考點(diǎn)：二次函數(shù)的綜合題

點(diǎn)評：二次函數(shù)的綜合題是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，在中考中極為常見，一般壓軸題形式出現(xiàn)，難度較大.