(2005•深圳)已知△ABC是邊長為4的等邊三角形,BC在x軸上,點D為BC的中點,點A在第一象限內,AB與y軸的正半軸相交于點E,點B(-1,0),P是AC上的一個動點(P與點A、C不重合)
(1)求點A、E的坐標;
(2)若y=x2+bx+c過點A、E,求拋物線的解析式;
(3)連接PB、PD,設L為△PBD的周長,當L取最小值時,求點P的坐標及L的最小值,并判斷此時點P是否在(2)中所求的拋物線上,請充分說明你的判斷理由.

【答案】分析:(1)△ABC是邊長為4的等邊三角形,則BC=4,而點D為BC的中點,BD=2,點B(-1,0),則OD=1,就可以求出A的橫坐標,等邊三角形的高線長,就是A的縱坐標.在直角三角形OBE中,根據(jù)三角函數(shù)可以求出OE的長,即得到E點的縱坐標.
(2)已經(jīng)求出A,E的坐標,根據(jù)待定系數(shù)法就可以求出函數(shù)的解析式.
(3)先作點D關于AC的對稱點D',連接BD'交AC于點P,則PB與PD的和取最小值,即△PBD的周長L取最小值.根據(jù)三角函數(shù)求的D′的坐標,再求出直線BD′的解析式,以及直線AC的解析式,兩直線的交點就是P的坐標.把點P的坐標代入二次函數(shù)的解析式,就可以判斷是否在函數(shù)的圖象上.
解答:解:(1)連接AD,
∵△ABC是邊長為4的等邊三角形,又B的坐標為(-1,0),BC在x軸上,A在第一象限,
∴點C在x軸的正半軸上,
∴C的坐標為(3,0),由中點坐標公式,得:D的坐標為(1,0).
顯然AD⊥BC且AD=BD=2,
∴A的坐標是(1,2).
OE=AD,得E(0,);

(2)因為拋物線y=x2+bx+c過點A、E,
由待定系數(shù)法得:c=,b=,
拋物線的解析式為y=;

(3)大家記得這樣一個常識嗎?
“牽牛從點A出發(fā),到河邊l喝水,再到點B處吃草,走哪條路徑最短”即確定l上的點P,
方法是作點A關于l的對稱點A',連接A'B與l的交點P即為所求.
本題中的AC就是“河”,B、D分別為“出發(fā)點”和“草地”.
由引例并證明后,得先作點D關于AC的對稱點D',
連接BD'交AC于點P,則PB與PD的和取最小值,
即△PBD的周長L取最小值.
∵D、D′關于直線AC對稱,
∴DD′⊥AC,即∠D′DC=30°,
DF=,DD'=2
求得點D'的坐標為(4,),
直線BD'的解析式為:x+,
直線AC的解析式為:,
求直線BD'與AC的交點可得點P的坐標(,).
此時BD'===2
所以△PBD的最小周長L為2+2,
把點P的坐標代入y=成立,所以此時點P在拋物線上.
點評:本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式,求兩條線段的和最小的問題,一般是轉化為兩點之間線段最短的問題.
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