Question

在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點M是AC上的一點，點N是BC上的一點，沿著直線MN折疊，使得點C恰好落在邊AB上的P點．求證：MC：NC=AP：PB．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),翻折變換（折疊問題）

專題：證明題

分析：連接PC，過點P作PD⊥AC于D，再由BC⊥AC，得到PD與BC平行，由折疊的性質(zhì)得到MN與CP垂直，利用同角的余角相等得到∠1=∠CNM，再由一對直角相等，得到三角形PDC與三角形MCN相似，由相似得比例列出比例式，根據(jù)題意得到三角形ADP為等腰直角三角形，得到AD=PD，代入得出的比例式中，最后由PD與BC平行，由平行得比例得到比例式，兩比例式代換即可得證．

解答：證明：連接PC，過點P作PD⊥AC于D，
∵BC⊥AC，
∴PD∥BC，
根據(jù)折疊可知：MN⊥CP，
∵∠1+∠PCN=90°，∠PCN+∠CNM=90°，
∴∠1=∠CNM，
∵∠CDP=∠NCM=90°，
∴△PDC∽△MCN，
∴MC：CN=PD：DC，
∵∠ADP=90°，∠A=45°，
∴△ADP為等腰直角三角形，
∴PD=DA，
∴MC：CN=DA：DC，
∵PD∥BC，
∴DA：DC=PA：PB，
∴MC：CN=PA：PB．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，以及等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．