Question

如圖，C是

AD

的中點，CF⊥AB，F(xiàn)為垂足．
（1）求證：△AEC是等腰三角形．
（2）設(shè)AB=4，∠DAB=30°，求CE的長．

Answer 1

分析：（1）連接BC，根據(jù)圓周角定理得出∠ACB=90°，以及∠ACF=∠ABC，即可得出答案．
（2）根據(jù)在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，得出AC=BD=2，進而得出AE的長即可．

解答：解：（1）連接BC，
∵C是

AD

的中點，
∴∠CAD=∠ABC，
又∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，又CF⊥AB，
∴∠ACF=∠ABC，
∴∠CAD=∠ACF，
∴△AEC是等腰三角形；

（2）連接BD，
在Rt△ABD中，∠DAB=30°，AB=4，則BD=2，
設(shè)∠CAD=∠ACF=x，
∴∠DAB+2x=90°，
∴2x=60°，即∠CAB=60°，∴CBA=30°，
∴AC=

1

2

AB=2，
，∴AC=BD=2，
在△ACF中，AF=

1

2

AC=1，
∴AE=

2 3

3

，
∴CE=

2 3

3

．

點評：此題主要考查了圓周角定理以及等腰三角形的判定，根據(jù)已知作出輔助線構(gòu)造直徑所對圓周角是解題關(guān)鍵．