Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，∠BCD=∠D=90°，E是邊AB的中點(diǎn).已知AD=1，AB=2.

（1）設(shè)BC=x，CD=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出定義域；

（2）當(dāng)∠B=70°時(shí)，求∠AEC的度數(shù)；

（3）當(dāng)△ACE為直角三角形時(shí)，求邊BC的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）；（2）∠AEC=105°；（3）邊BC的長(zhǎng)為2或.

【解析】試題分析：（1）過(guò)A作AH⊥BC于H，得到四邊形ADCH為矩形．在△BAH中，由勾股定理即可得出結(jié)論．

（2）取CD中點(diǎn)T，連接TE，則TE是梯形中位線，得ET∥AD，ET⊥CD，∠AET=∠B=70°．

又AD=AE=1，得到∠AED=∠ADE=∠DET=35°．由ET垂直平分CD，得∠CET=∠DET=35°，即可得到結(jié)論．

（3）分兩種情況討論：①當(dāng)∠AEC=90°時(shí)，易知△CBE≌△CAE≌△CAD，得∠BCE=30°，

解△ABH即可得到結(jié)論．

②當(dāng)∠CAE=90°時(shí)，易知△CDA∽△BCA，由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可得到結(jié)論．

試題解析：解：（1）過(guò)A作AH⊥BC于H．由∠D=∠BCD=90°，得四邊形ADCH為矩形．

在△BAH中，AB=2，∠BHA=90°，AH=y，HB=，∴，

則

（2）取CD中點(diǎn)T，聯(lián)結(jié)TE，則TE是梯形中位線，得ET∥AD，ET⊥CD，∴∠AET=∠B=70°．

又AD=AE=1，∴∠AED=∠ADE=∠DET=35°．由ET垂直平分CD，得∠CET=∠DET=35°，∴∠AEC=70°＋35°=105°．

（3）分兩種情況討論：①當(dāng)∠AEC=90°時(shí)，易知△CBE≌△CAE≌△CAD，得∠BCE=30°，

則在△ABH中，∠B=60°，∠AHB=90°，AB=2，得BH=1，于是BC=2．

②當(dāng)∠CAE=90°時(shí)，易知△CDA∽△BCA，又，

則（舍負(fù)）

易知∠ACE<90°，所以邊BC的長(zhǎng)為．

綜上所述：邊BC的長(zhǎng)為2或．