【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx+4與x軸交于A(﹣2,0)、B兩點,與y軸交于C點,其對稱軸為直線x=1.

(1)直接寫出拋物線的解析式:

(2)把線段AC沿x軸向右平移,設(shè)平移后A、C的對應(yīng)點分別為A′、C′,當C′落在拋物線上時,求A′、C′的坐標;

(3)除(2)中的點A′、C′外,在x軸和拋物線上是否還分別存在點E、F,使得以A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形?若存在,求出E、F的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】(1)y=﹣x2+x+4;(2)C′(2,4),A′(0,0).(3見解析

【解析】

試題分析:(1)先求得B點的坐標,然后根據(jù)待定系數(shù)法交點拋物線的解析式;

(2)根據(jù)平移性質(zhì)及拋物線的對稱性,求出A′、C′的坐標;

(3)以A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形,可能存在3種滿足條件的情形,需要分類討論,避免漏解.

解:(1)A(﹣2,0),對稱軸為直線x=1.

B(4,0),

把A(﹣2,0),B(4,0)代入拋物線的表達式為:

,

解得:,

拋物線的解析式為:y=﹣x2+x+4;

(2)由拋物線y=﹣x2+x+4可知C(0,4),

拋物線的對稱軸為直線x=1,根據(jù)對稱性,

C′(2,4),

A′(0,0).

(3)存在.

設(shè)F(x,﹣x2+x+4).

以A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形,

①若AC為平行四邊形的邊,如答圖1﹣1所示,則EFAC且EF=AC.

過點F1作F1Dx軸于點D,則易證RtAOCRtE1DF1,

DE1=2,DF1=4.

x2+x+4=﹣4,

解得:x1=1+,x2=1﹣

F1(1+,﹣4),F(xiàn)2(1﹣,﹣4);

E1(3+,0),E2(3﹣,0).

②若AC為平行四邊形的對角線,如答圖1﹣2所示.

點E3在x軸上,CF3x軸,

點C為點A關(guān)于x=1的對稱點,

F3(2,4),CF3=2.

AE3=2,

E3(﹣4,0),

綜上所述,存在點E、F,使得以A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形;

點E、F的坐標為:E1(3+,0),F(xiàn)1(1+,﹣4);E2(3﹣,0),F(xiàn)2(1﹣,﹣4);E3(﹣4,0),F(xiàn)3(2,4).

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2若將該二次函數(shù)圖象向下平移mm>0個單位,使平移后得到的二次函數(shù)圖象的頂點落在ABC的內(nèi)部不包括ABC的邊界,求m的取值范圍;

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