Question

如圖，在直角梯形ABCD中，∠D =∠BCD = 90°，∠B = 60°，AB = 6，AD = 9，點(diǎn)E是CD上的一個動點(diǎn)（E不與D重合），過點(diǎn)E作EF∥AC，交AD于點(diǎn)F（當(dāng)E運(yùn)動到C時，EF與AC重合），把△DEF沿著EF對折，點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)G,如圖①．

【小題1】求CD的長及∠1的度數(shù)；
【小題2】設(shè)DE = x，△GEF與梯形ABCD重疊部分的面積為y．求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求x為何值時，y的值最大？最大值是多少？
【小題3】當(dāng)點(diǎn)G剛好落在線段BC上時,如圖②,若此時將所得到的△EFG沿直線CB向左平移，速度為每秒1個單位，當(dāng)E點(diǎn)移動到線段AB上時運(yùn)動停止.設(shè)平移時間為t（秒）,在平移過程中是否存在某一時刻t，使得△ABE為等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由

Answer 1

解析（1）  過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H                （1分）
∵在Rt△AHB中，AB=6，∠B=60°
∴AH=AB·=
∵四邊形ABCD為直角梯形
∴四邊形AHCD為矩形
∴CD=AH=                         （2分）
∵ 
∴∠CAD=30°
∵EF∥AC
∴∠1=∠CAD=30°                        （4分）
（2）點(diǎn)G恰好在BC上，由對折的對稱性可知△FGE≌△FDE  
∴ GE="DE" =x，∠FEG=∠FED=60°
∴∠GEC=60°
因?yàn)椤鰿EG是直角三角形
∴∠EGC="30°"
∴在Rt△CEG中，EC=EG=x
由DE+EC=CD 得 
∴x=                             （5分）
當(dāng)時


∵＞0，對稱軸為y軸
∴當(dāng)，y隨x的增大而增大
∴當(dāng)x=時，=            （6分）
當(dāng)＜x≤時，設(shè)FG，EG分別交BC于點(diǎn)M、N
∵DE=x
∴EC=，NE=2
∴NG=GE－NE==
又∵∠MNG=∠ENC=30°，∠G=90°
∴MG==


               （7分）
∵，對稱軸為直線
∴當(dāng)＜x≤時，y有最大值
∴當(dāng)時，=               （8分）
綜合兩種情形：由于＜ 
∴當(dāng)時，y的值最大，y的最大值為                （9分）
(3)由題意可知:AB=6,分三種情況：
①若AE=BE,解得t=9
②若AB=AE,解得t=9-2
③若BA=BE，解得t=12-                                              (12分)