Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)，連接．

（1）求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式；

（2）△ANM與是否相似?若相似，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)、點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）若點(diǎn)是直線上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)重合)，過作軸交直線于點(diǎn)，以為直徑作⊙，則⊙在直線上所截得的線段長度的最大值等于 ．（直接寫出答案）

Answer 1

【答案】（1）；（2）點(diǎn)M（0，）、點(diǎn)N（，0）或點(diǎn)M（0，），N（-3，0）或點(diǎn)M（-1，）、點(diǎn)N（-3，0）或N（，0）、M（-1，）；（3）QH有最大值，當(dāng)x=時(shí)，其最大值為．

【解析】

（1）用交點(diǎn)式函數(shù)表達(dá)式得：y=a（x-2）（x+3），將點(diǎn)D坐標(biāo)代入上式即可求解；
（2）分∠MAB=∠BAD、∠MAB=∠BDA，兩種大情況、四種小情況，分別求解即可；
（3）根據(jù)題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和三角函數(shù)，QH=PQcos∠PQH=PQ==，即可求解．

解：（1）用交點(diǎn)式函數(shù)表達(dá)式得：y=a（x-2）（x+3），
將點(diǎn)D坐標(biāo)代入上式并解得：，
故函數(shù)的表達(dá)式為：…①，
則點(diǎn)C（0，）；
（2）由題意得：AB=5，AD=10，BD=，
①∠MAN=∠ABD時(shí)，
（Ⅰ）當(dāng)△ANM∽△ABD時(shí)，
直線AD所在直線的k值為，則直線AM表達(dá)式中的k值為，
則直線AM的表達(dá)式為：，故點(diǎn)M（0，），
，則AN=，則點(diǎn)N（，0）；
（Ⅱ）當(dāng)△AMN∽△ABD時(shí)，
同理可得：點(diǎn)N（-3，0），點(diǎn)M（0，），
故點(diǎn)M（0，）、點(diǎn)N（，0）或點(diǎn)M（0，），N（-3，0）；
②∠MAN=∠BDA時(shí)，
（Ⅰ）△ABD∽△NMA時(shí)，
∵AD∥MN，則tan∠MAN=tan∠BDA=，
AM：y=（x-2），則點(diǎn)M（-1，）、點(diǎn)N（-3，0）；
（Ⅱ）當(dāng)△ABD∽△MNA時(shí)，
，即，

解得：AN=，
故點(diǎn)N（，0）、M（-1，）；
故：點(diǎn)M（-1，）、點(diǎn)N（-3，0）或N（，0）、M（-1，）；
綜上，點(diǎn)M（0，）、點(diǎn)N（，0）或點(diǎn)M（0，），N（-3，0）或點(diǎn)M（-1，）、點(diǎn)N（-3，0）或N（，0）、M（-1，）；
（3）如圖所示，連接PH，

由題意得：tan∠PQH=，則cos∠PQH=，
則直線AD的表達(dá)式為：y=，
設(shè)點(diǎn)P（x，），則點(diǎn)Q（x，），
則QH=PQcos∠PQH=PQ=

=

=，
∵，

故QH有最大值，當(dāng)x=時(shí)，其最大值為．