Question

已知：AC是⊙O的直徑，PA⊥AC，連結(jié)OP，弦CB//OP，直線PB交直線AC于點D，BD=2PA．

1.證明：直線PB是⊙O的切線；

2.探索線段PO與線段BC之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明

3.求sin∠OPA的值．

 

Answer 1

【答案】

 

1.見解析

2.2PO=3BC

3.

【解析】連結(jié)OB．∵BC//OP，

∴∠BCO=∠POA，∠CBO=∠POB．

又∵OC=OB，∴∠BCO=∠CBO，

∴∠POB=∠POA．-----------------------------------------------------------------1分

又∵PO=PO，OB=OA，

∴△POB≌△POA．

∴∠PBO=∠PAO=90°．

∴PB是⊙O的切線．-----------------------------------------------------------2分

（2）2PO=3BC（寫PO=BC亦可）．

證明：∵△POB≌△POA，∴PB=PA．

∵BD=2PA，∴BD=2PB．-----------------------------------------------3分

∵BC//OP，∴△DBC∽△DPO．

∴．∴2PO=3BC．----------------------------------5分

注：開始沒有寫出判斷結(jié)論，正確證明也給滿分．

（3）∵△DBC∽△DPO，∴，即DC=OD．∴DC=2OC．----6分

設(shè)OA=x，PA=y．則OD=3x，DB=2y．

在Rt△OBD中，由勾股定理，得(3x)²= x²+(2y)²．即2 x²= y²．

∵x>0，y>0，∴y=x．OP=．------------------------------------------7分

∴sin∠OPA=．