Question

【題目】△ABC中，AD是BC邊上的高，BD=3，CD=1，AD=2，P、Q、R分別是BC、AB、AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則△PQR周長的最小值為

Answer 1

【答案】
【解析】解：如圖1中，

作P點(diǎn)關(guān)于AB的對稱點(diǎn)P′，作P點(diǎn)關(guān)于AC的對稱點(diǎn)P″，連接P′P″，與AB交于點(diǎn)Q′，與AC交于點(diǎn)R′，連接PP′交AB于M，連接PP″交AC于N，
此時(shí)△PQ′R′的周長最小，這個(gè)最小值=P′P″，
∵PM=MP′，PN=NP″，
∴P′P″=2MN，
∴當(dāng)MN最小時(shí)P′P″最小．
如圖2中，

∵∠AMP=∠ANP=90°，
∴A、M、P、N四點(diǎn)共圓，線段AP就是圓的直徑，MN是弦，
∵∠MAN是定值，
∴直徑AP最小時(shí)，弦MN最小，
∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，PA最小，此時(shí)MN最�。�
如圖3中，

∵在RT△ABD中，∠ADB=90°，AD=2，DB=3，
∴
在RT△ADC中，∵∠ADC=90°，AD=2，CD=1，
∴
∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴ACDN=DCAD，
∴
∵∠MAD=∠DAB，∠AMD=∠ADB，
∴△AMD∽△ADB，
∴
∴AD2=AMAB，同理AD2=ANAC，
∴AMAB=ANAC，
∴
∵∠MAN=∠CAB，
∴△AMN∽△ACB，
∴
∴MN= ，
∴△PQR周長的最小值=P′P″=2MN= ．
故答案為 ．
如圖1中，作P點(diǎn)關(guān)于AB的對稱點(diǎn)P′，作P點(diǎn)關(guān)于AC的對稱點(diǎn)P″，連接P′P″，與AB交于點(diǎn)Q′，與AC交于點(diǎn)R′，連接PP′交AB于M，連接PP″交AC于N，此時(shí)△PQ′R′的周長最小，這個(gè)最小值=P′P″，再證明P′P″=2MN，MN最小時(shí)，△PQR周長最小，利用圖2證明當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)MN最小，在圖3中利用相似三角形的性質(zhì)求出MN的最小值即可解決問題．