Question

【題目】Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，如圖1，點(diǎn)P從C出發(fā)向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)R是射線PB上一點(diǎn)，PR=3CP，過(guò)點(diǎn)R作QR⊥BC，且QR=aCP，連接PQ，當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)CP=x，△ABC與△PQR重合部分的面積為S，S關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖2所示（其中0＜x≤ ， ＜x≤m，m＜x≤n時(shí)，函數(shù)的解析式不同）．
（1）a的值為；
（2）求出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（1）由圖2可知，當(dāng)x=時(shí)，點(diǎn)Q在線段AB上，且此時(shí)的S=，
PR=3CP=，QR=aCP=a，
∵QR⊥BC，
∴S=PRQR=××a=，即27a=108，
解得a=4．
（2）當(dāng)x=時(shí)，Q點(diǎn)在線段AB上，如圖3，

∵AC⊥BC，QR⊥BC，
∴AC∥QR，
∴△ABC∽△QBR，
∴
QR=4CP=，PR=3CP=，BR=BC﹣CP﹣PR= ，
AC=QR==3 ．．
①當(dāng)點(diǎn)Q在△ACB內(nèi)時(shí)，即0＜x≤時(shí)，如圖1，
PR=3x，QR=4x，
S=PRQR=6x2 ．
②當(dāng)點(diǎn)Q在△ACB外且R點(diǎn)在線段CB上時(shí)，如圖4，

此時(shí)x＞，且CR≤BC，
∵CR=CP+PR=4x，
∴＜x≤1．
∵
∴△PQR∽△ABC，
∴∠Q=∠B，
∵∠DEQ=∠REB（對(duì)頂角），
∴△DEQ∽△REB．
在Rt△ACB中，由勾股定理可知AB==5，
∵AC∥QR，
∴△EBR∽△ABC，
∴
RB=BC﹣CP﹣PR=4﹣4x，AC=3，BC=4，
∴RE=3﹣3x．
QE=QR﹣RE=4x﹣（3﹣3x）=7x﹣3．
∵△DEQ∽△REB，△EBR∽△ABC，且AC=3，BC=4，AB=5，
∴DE=QE，QD=QE，QD⊥DE．
S=PRQR﹣QDDE=﹣x2+x﹣．
③當(dāng)點(diǎn)R在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖5，

此時(shí)CR=4x＞BC=4，得x＞1；CP=x≤BC=4．
即1＜x≤4．
∵△ABC∽△PQR，
∴∠QPR=∠A，
∵∠PBM=∠ABC，
∴△PBM∽△ABC，
∴PM=PB，MB=PB．
∵PB=BC﹣CP=4﹣x，
∴ S=PMMB=（4﹣x）2=x2﹣x+ ．
綜合①②③可得：S=
【解析】（1）由圖2可知當(dāng)x=時(shí)S= ， 且此時(shí)Q點(diǎn)在線段AB上，利用三角形面積公式即可求出a的值；
（2）由Q點(diǎn)和R點(diǎn)的位置，可將整個(gè)移動(dòng)過(guò)程分成三部分，借用三角形相似，找個(gè)各邊的關(guān)系，分割圖形，既能找出S和x之間的關(guān)系式．