Question

如圖，△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交AC于E，交BC于D，DF⊥AC于F．給出以下五個(gè)結(jié)論：①BD=DC；②CF=EF；③

AE

=

DE

；④∠A=2∠FDC；⑤DF是⊙O的切線．其中正確結(jié)論的序號(hào)是

 

．

Answer 1

分析：首先由AB是⊙O的直徑，得出AD⊥BC，推出BD=DC，再由OA=OB，推出OD是△ABC的中位線，得DF⊥OD，即DF是⊙O的切線，然后由DF⊥AC，AD⊥BC，推出△CDE為等腰三角形，從而推出∠A=2∠FDC，CF=EF．最后由假設(shè)推出

AE

=

DE

不正確；

解答：解：連接OD，AD．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°（直徑所對(duì)的圓周角是直角），
∴AD⊥BC；
而在△ABC中，AB=AC，
∴AD是邊BC上的中線，
∴BD=DC（正確）；
∵AB是⊙O的直徑，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴DB=DC，
∵OA=OB，
∴OD是△ABC的中位線，
即：OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD．
∴DF是⊙O的切線（正確）；
∵DF⊥AC，AD⊥BC，
∴∠FDC+∠C=∠CAD+∠C=90°，
∴∠FDC=∠CAD，
又AB=AC，∴∠BAD=∠CAD，
∴∠A=2∠CAD=2∠FDC（正確）；
∵DF是⊙O的切線，
∴∠FDE=∠CAD=∠FDC，
∴∠C=∠DEC，
∴DC=DE，
又DF⊥AC，
∴CF=EF（正確）；
當(dāng)∠EAD=∠EDA時(shí)，

AE

=

DE

，此時(shí)△ABC為等邊三角形，
當(dāng)△ABC不是等邊三角形時(shí)，
∠EAD≠∠EDA，
則

AE

≠

DE

，
∴

AE

=

DE

（不正確）；
綜上，正確結(jié)論的序號(hào)是①②④⑤，
故答案為：①②④⑤．

點(diǎn)評(píng)：此題考查的知識(shí)點(diǎn)是切線的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及圓周角定理，解答此題的關(guān)鍵是運(yùn)用等腰三角形性質(zhì)及圓周角定理及切線性質(zhì)作答．