如圖,四邊形ABCD是一個邊長為1cm的正方形,AC是對角線,AE平分∠DAC交BC的延長線于點E.
(1)求證:AC=EC;
(2)求△ACE的面積.

【答案】分析:(1)由AE為角平分線,得到一對角相等,再由四邊形ABCD為正方形,得到AD與EB平行,利用兩直線平行得到一對內(nèi)錯角相等,等量代換可得出∠EAC=∠E,利用等角對等邊即可得證;
(2)在直角三角形ABC中,由正方形的邊長AB與BC都為1cm,利用勾股定理求出AC的長,即為EC的長,而AB為EC邊上的高,利用三角形的面積公式計算,即可得到三角形ACE的面積.
解答:(1)證明:∵AE平分∠DAC,
∴∠DAE=∠EAC,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AD∥BE,
∴∠DAE=∠E,
∴∠EAC=∠E,
∴AC=EC;

(2)解:∵AB=BC=1cm,
∴在Rt△ABC中,根據(jù)勾股定理得AC==
∴EC=,
則S△ACE=EC•AB=××1=(cm2).
點評:本題考查了正方形性質(zhì),勾股定理,以及等腰三角形判定的綜合運用,是涉及幾何證明與計算的綜合題,考查學(xué)生合情的推理能力和初步演繹推理能力的獲得,以及證明過程是否步步有據(jù).
練習(xí)冊系列答案
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如圖,四邊形ABCD的對角線AC與BD互相垂直平分于點O,設(shè)AC=2a,BD=2b,請推導(dǎo)這個四邊形的性質(zhì).(至少3條)
(提示:平面圖形的性質(zhì)通常從它的邊、內(nèi)角、對角線、周長、面積等入手.)

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如圖,四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點P,過點P作直線交AD于點E,交BC于點F.若PE=PF,且AP+AE=CP+CF.
(1)求證:PA=PC.
(2)若BD=12,AB=15,∠DBA=45°,求四邊形ABCD的面積.

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如圖,四邊形ABCD是正方形,點E是BC的中點,∠AEF=90°,EF交正方形外角的平分線CF于F.

(I)求證:AE=EF;
(Ⅱ)若將條件中的“點E是BC的中點”改為“E是BC上任意一點”,其余條件不變,則結(jié)論AE=EF還成立嗎?若成立,請證明;若不成立,請說明理由.

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