Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝x2+x﹣4與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．

（1）連接BC，P是線段BC上方拋物線上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PH⊥BC于點(diǎn)H，當(dāng)PH長度最大時(shí)，在△APB內(nèi)部有一點(diǎn)M，連接AM、BM、PM，求AM+BM+PM的最小值．

（2）若點(diǎn)D是OC的中點(diǎn)，將拋物線y＝x2+x﹣4沿射線AD方向平移個(gè)單位得到新拋物線y′，C′是拋物線y′上與C對應(yīng)的點(diǎn)，拋物線y'的對稱軸上有一動點(diǎn)N，在平面直角坐標(biāo)系中是否存在一點(diǎn)S，使得C′、N、B、S為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出點(diǎn)S的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）AM+BM+PM＝；（2）存在，點(diǎn)S的坐標(biāo)為：S1 (，﹣3+)，S2 (，﹣3﹣)，S3(，)，S4(，)．

【解析】

（1）待定系數(shù)法求直線BC解析式，設(shè)點(diǎn)P橫坐標(biāo)為m，用含m的代數(shù)式表示PQ，再根據(jù)PH與PQ的關(guān)系得到PH最大時(shí)，m的值，將△PMB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得△P′M′B，連接MM′，過點(diǎn)P′作P′R⊥x軸于點(diǎn)R，線段AP′即為AM+BM+PM的最小值；

（2）C′、N、B、S為頂點(diǎn)的四邊形是矩形可以根據(jù)C′B分別作為矩形對角線或邊分類進(jìn)行討論：①當(dāng)C′B為矩形對角線；②當(dāng)C′B為矩形的邊，C′B⊥C′N時(shí)；③當(dāng)C′B為矩形的邊，C′B⊥BN時(shí)．先求出點(diǎn)N坐標(biāo)后再根據(jù)平移規(guī)律求S坐標(biāo)．

（1）在拋物線y＝﹣x2+x﹣4中，令x＝0，得y＝﹣4，

∴C(0，﹣4)．

令y＝0，得＝﹣x2+x﹣4＝0，解得：x1＝，x2＝4，

∴A(，0)，B(4，0)，

∴BC＝＝8．

如圖1，

過點(diǎn)P作PQ⊥x軸于點(diǎn)E交BC于點(diǎn)Q，則PQ∥y軸，

∴∠PQH＝∠BCO，

∵PH⊥BC，

∴∠PHQ＝∠BOC＝90°，

∴△PQH∽△BCO，

∴＝＝＝，∴PH＝PQ，

設(shè)直線BC解析式為y＝kx+b，將B(4，0)，C（0，﹣4）代入得，解得

∴直線BC解析式為y＝x﹣4，

設(shè)P(m，+m﹣4)，Q(m，m﹣4)，則PQ＝+m，

∵＜0，0＜m＜4，

∴當(dāng)m＝2時(shí)，PQ有最大值，此時(shí)PH＝PQ有最大值，

∴P(2，2)，

將△PMB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得△P′M′B，連接MM′，過點(diǎn)P′作P′R⊥x軸于點(diǎn)R，

∵tan∠PBE＝＝＝，∴∠PBE＝30°，

∴∠P′BR＝180°﹣120°﹣30°＝30°，P′B＝PB＝4，

則P′(6，2)，AP′＝＝，

∴AM+BM+PM＝AM+MM′+PM≥AP′＝；

（2）存在．如圖2，設(shè)N(，n)，

∵D(0，﹣2)，∴AD＝＝，

∴拋物線y＝﹣x2+x﹣4沿射線AD方向平移個(gè)單位實(shí)際是向左平移個(gè)單位，向下平移2個(gè)單位，

∴C′(﹣，﹣6)，新拋物線y′＝，

①當(dāng)C′B為矩形對角線，點(diǎn)N在C′B下方時(shí)，易求直線C′B解析式為y＝x﹣，

∴矩形對角線交點(diǎn)坐標(biāo)為(，﹣3)，

∵NS＝C′B＝，

∴N1 (，﹣3﹣)，S1 (，﹣3+)，

N2 (，﹣3+)，S2 (，﹣3﹣)，

②當(dāng)C′B為矩形的邊，C′B⊥C′N時(shí)，由C′N2+C′B2＝BN2可得：

+(﹣6﹣n)2++(﹣6﹣0)2

＝+(0﹣n)2，

解得：n＝﹣∴N3(，﹣)，

∵C′N∥BS，

∴S3(，)；

③當(dāng)C′B為矩形的邊，C′B⊥BN時(shí)，由BN2+C′B2＝C′N2可得：

+(n﹣0)2++(﹣6﹣0)2

＝+(﹣6﹣n)2，

解得：n＝

∴N4(，)．

∵BN∥C′S，

∴S4(，)；

綜上所述，點(diǎn)S的坐標(biāo)為：S1 (，﹣3+)，S2 (，﹣3﹣)，S3(，)，S4(，)．