Question

如圖，AD為△ABC的角平分線，BF⊥AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，AM⊥AD于A交BC的延長(zhǎng)線于M，F(xiàn)C的延長(zhǎng)線交AM于E．求證：AE=EM．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：如圖，作輔助線；證明BF=NF；證明

BF

EM

=

NF

AE

，結(jié)合BF=NF，即可解決問(wèn)題．

解答：解：如圖，分別延長(zhǎng)BF、AC交于點(diǎn)N；
∵AD為△ABC的角平分線，
∴∠BAF=∠NAF；
在△ABF與△ANF中，

∠BAF=∠NAF AF=AF ∠AFB=∠AFN

，
∴△ABF≌△ANF（ASA），
∴BF=NF；
∵BN⊥AF，AM⊥AF，
∴BN∥AM，
∴△BCF∽△MCE，

BF

EM

=

FC

CE

①；
同理可證：

NF

AE

=

NC

AC

②，

FC

CE

=

NC

AC

③，
由①②③知：

BF

EM

=

NF

AE

，而B(niǎo)F=NF，
∴AE=EM．

點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了全等三角形的判定及其性質(zhì)、相似三角形的判定及其性質(zhì)等幾何知識(shí)點(diǎn)及其應(yīng)用問(wèn)題；解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等或相似三角形．