Question

已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，對(duì)于下列結(jié)論：①b²-4ac＞0；②a+b+c＜0；③abc＜0；④8a+c＞0；⑤方程ax²+bx+c=0的根是x₁=-1，x₂=3，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A、5
• B、4
• C、3
• D、2

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系

專(zhuān)題：數(shù)形結(jié)合

分析：根據(jù)拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可對(duì)①進(jìn)行判斷；利用x=1時(shí)函數(shù)值為負(fù)數(shù)可對(duì)②進(jìn)行判斷；由拋物線(xiàn)開(kāi)口方向得a＞0，由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸方程得到b=-2a＜0，由拋物線(xiàn)與y軸交點(diǎn)位置得c＜0，于是可對(duì)③進(jìn)行判斷；由于x=-2時(shí)，y＞0，得到4a-2b+c＞0，然后把b=-2a代入計(jì)算，則可對(duì)④進(jìn)行判斷；根據(jù)拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題可對(duì)⑤進(jìn)行判斷．

解答：解：∵拋物線(xiàn)與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
∴b²-4ac＞0，所以①正確；
∵x=1時(shí)，y＜0，
∴a+b+c＜0，所以②正確；
∵拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，
∴a＞0，
∵拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=-

b

2a

=1，
∴b=-2a＜0，
∵拋物線(xiàn)與y軸交點(diǎn)位于y軸負(fù)半軸，
∴c＜0，
∴abc＞0，所以③錯(cuò)誤；
∵x=-2，y＞0，
∴4a-2b+c＞0，
而b=-2a，
∴8a+c＞0，所以④正確；
∵拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0）、（3，0），
即x=-1或3時(shí)，y=0，
∴方程ax²+bx+c=0的根是x₁=-1，x₂=3，所以⑤正確．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)與系數(shù)的關(guān)系：對(duì)于二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0），二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向和大小：當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線(xiàn)向上開(kāi)口；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線(xiàn)向下開(kāi)口；一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱(chēng)軸的位置：當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab＞0），對(duì)稱(chēng)軸在y軸左； 當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab＜0），對(duì)稱(chēng)軸在y軸右；常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線(xiàn)與y軸交點(diǎn)：拋物線(xiàn)與y軸交于（0，c）；拋物線(xiàn)與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)由△決定：△=b²-4ac＞0時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△=b²-4ac=0時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△=b²-4ac＜0時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．