Question

如圖，在平面直角坐標系中，以點M（0，

3

）為圓心，以2

3

長為半徑作⊙M交x軸于A，B兩點，交y軸于C，D兩點，連接AM并延長交⊙M于P點，連接PC交x軸于E．
（1）求出CP所在直線的解析式；
（2）連接AC，請求△ACP的面積．

Answer 1

分析：（1）要求CP所在的直線的解析式，就必須知道C，P兩點的坐標，有圓心M的坐標，有圓的半徑，那么可求出OC的，OM的長，直角三角形AMO中有AM，OM的值，就能求出OA，OB的長，那么P的橫坐標就求出來了，連接PB，那么OM是三角形APB的中位線，PB=2OM，已經(jīng)求出了OM的長，那么PB的長也就求出來了，這樣P點的坐標就求出來了，有了C，P的坐標，可根據(jù)待定系數(shù)法求出CP所在直線的解析式；
（2）求三角形ACP的面積實際上是求直角邊AC，PC的長，因為三角形ACP是個直角三角形，有斜邊AB的長，只要求出這個三角形中銳角的度數(shù)，即可求出直角邊的長，在三角形AMO中，我們可求出∠AMO的度數(shù)，根據(jù)圓周角定理，也就求出了∠P的度數(shù)，有了銳角的度數(shù)和斜邊的長，直角邊就能求出來了，面積也就能求出來了．

解答：解：（1）連接PB，
∵PA是⊙M的直徑，
∴∠PBA=90度，
∵DC是⊙M的直徑，且垂直于弦AB，
∴DC平分弦AB，
在Rt△AMO中AM=2

3

，OM=

3

，
∴AO=OB=3，
又∵MO⊥AB，
∴PB∥MO，
∴PB=2OM=2

3

，
∴P點坐標為（3，2

3

），
∵CM=2

3

，OM=

3

，
∴OC=CM-OM=

3

，
∴C（0，-

3

），直線CP過C，P兩點，
設直線CP的解析式為y=kx+b（k≠0），
得到

- 3 =b 2 3 =3k+b

，
解得：

k= 3 b=- 3

，
∴直線CP的解析式為y=

3

x-

3

；

（2）在Rt△AMO中，∠AMO=60度，
又∵AM=CM，
∴△AMC為等邊三角形，
∴AC=AM=2

3

，∠MAC=60度．
又∵AP為⊙M的直徑，
∴∠ACP=90°，∠APC=30度，
PC=

3

AC=

3

•2

3

=6，
∴△ACP的面積=

1

2

AC•PC=

1

2

×2

3

×6=6

3

．

點評：本題考查了一次函數(shù)與圓，直角三角形等知識的綜合應用，根據(jù)直角三角形求出線段的長是本題解題的關鍵．