Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=﹣ax2+bx+3與x軸交于A(﹣1，0)，B(3，0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是該拋物線的頂點(diǎn)．

（1）求直線AC及拋物線的解析式，并求出D點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）若P為線段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，求四邊形PMAC的面積的最大值和此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）若點(diǎn)P是x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P作直線1∥AC交拋物線于點(diǎn)Q，試探究：隨著P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)A、P、Q、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=3x+3，y=﹣x2+2x+3，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，4)；（2）四邊形PMAC的面積的最大值為，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)；（3）點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2，3)或(1，﹣3)或(1，﹣3)．

【解析】

（1）先求出點(diǎn)C坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求出直線AC及拋物線的解析式，把拋物線的一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式即可求出D點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）先根據(jù)待定系數(shù)法求出直線BD的解析式，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為p，然后根據(jù)S四邊形PMAC=S△OAC+S梯形OMPC即可得出S四邊形PMAC與p的關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可；

（3）由題意得PQ∥AC且PQ=AC，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，0)，當(dāng)點(diǎn)Q在x軸上方時(shí)，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x+1，3)，把點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入拋物線的解析式即可求出x，進(jìn)而可得點(diǎn)Q坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)Q在x軸下方時(shí)，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x﹣1，﹣3)，同樣的方法求解即可．

（1）∵拋物線y=﹣ax2+bx+3與y軸交于點(diǎn)C，

∴點(diǎn)C(0，3)，

設(shè)直線AC的解析式為y=k1x+b1(k1≠0)．

∵點(diǎn)A(﹣1，0)，點(diǎn)C(0，3)，

∴，解得：，

∴直線AC的解析式為y=3x+3．

∵拋物線y=﹣ax2+bx+3與x軸交于A(﹣1，0)，B(3，0)兩點(diǎn)，

∴，解得：，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3．

∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4，

∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，4)；

（2）設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b．

∵點(diǎn)B(3，0)，點(diǎn)D(1，4)，

∴，得，

∴直線BD的解析式為y=﹣2x+6．

∵P為線段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

∴設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(p，﹣2p+6)．

∵OA=1，OC=3，OM=p，PM=﹣2p+6，

∴S四邊形PMAC=S△OAC+S梯形OMPC=﹣p2p=﹣(p)2，

∵1＜p＜3，

∴當(dāng)p時(shí)，四邊形PMAC的面積取得最大值為，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)；

（3）∵直線l∥AC，以點(diǎn)A、P、Q、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，

∴PQ∥AC且PQ=AC．

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，0)，由A(﹣1，0)，C(0，3)，

當(dāng)點(diǎn)Q在x軸上方時(shí)，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x+1，3)，

此時(shí)，﹣(x+1)2+2(x+1)+3=3，

解得：x1=﹣1(舍去)，x2=1，

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2，3)；

當(dāng)點(diǎn)Q在x軸下方時(shí)，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x﹣1，﹣3)，

此時(shí)，﹣(x﹣1)2+2(x﹣1)+3=﹣3，

整理得：x2﹣4x﹣3=0，

解得：x1=2，x2=2，

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1，﹣3)或(1，﹣3)，

綜上所述：點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2，3)或(1，﹣3)或(1，﹣3)．