Question

如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為8，點(diǎn)O為邊AC的四等分點(diǎn)（AO＜CO），點(diǎn)P為邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接OP．將△AOP繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△A′OP′，且使得點(diǎn)A′落在邊AB上，當(dāng)點(diǎn)P′落在邊BC上時(shí)，則AP的長(zhǎng)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題

分析：根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠A=∠C=60°，再利用點(diǎn)O為邊AC的四等分點(diǎn)（AO＜CO）得到OA=2，OC=6，由于△AOP繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A′OP′，點(diǎn)A′落在邊AB上，點(diǎn)P′落在邊BC上，則根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得OA′=OA，OP′=OP，∠AOA′=∠POP′，于是可判斷△OAA′為等邊三角形，得到∠AOA′=60°，則∠POP′=60°，接著根據(jù)三角形外角性質(zhì)可證明∠APO=∠COP′，然后根據(jù)“AAS”判斷△APO≌△COP′，所以AP=CO=6．

解答：解：如圖，∵△ABC為等邊三角形，
∴∠A=∠C=60°，
∵點(diǎn)O為邊AC的四等分點(diǎn)（AO＜CO），
∴OA=2，OC=6，
∵△AOP繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△A′OP′，點(diǎn)A′落在邊AB上，點(diǎn)P′落在邊BC上，如圖，
∴OA′=OA，OP′=OP，∠AOA′=∠POP′，
∴△OAA′為等邊三角形，
∴∠AOA′=60°，
∴∠POP′=60°，
∵∠POC=∠A+∠APO，
即60°+∠COP′=60°+∠APO，
∴∠APO=∠COP′，
在△APO和△COP′中

∠A=∠C ∠APO=∠COP′ OP=P′C

，
∴△APO≌△COP′，
∴AP=CO=6．
故答案為6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線(xiàn)段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)．