Question

【題目】如圖，已知：是的直徑，點(diǎn)在上，是的切線，于點(diǎn)是延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．

(1)求證：平分．

(2)若，．

①求的度數(shù)．

②若的半徑為，求線段的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】(1)詳見(jiàn)解析；（2）①∠OCE=45°；②2-2.

【解析】

試題分析：（1）利用了切線的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，等邊對(duì)等角，角平分線的判定即可得證；（2）①根據(jù)（1）得出的AD//OC，從而得出同位角相等，再利用三角形的內(nèi)角和定理即可求出答案；②作OG⊥CE于點(diǎn)G，可得FG=CG,根據(jù)等邊對(duì)等角得出CG=OG=FG=2,在根據(jù)勾股定理得出GE，從而求出EF=GE-FG.

試題解析：（1）解：∵直線與⊙O相切，

∴OC⊥CD；

又∵AD⊥CD,

∴AD//OC,

∴∠DAC=∠OCA;

又∵OC=OA,

∴∠OAC=∠OCA,

∴∠DAC=∠OAC;

∴AC平分∠DAO.

（2）解：①∵AD//OC，∠DAO=105°,

∴∠EOC=∠DAO=105°;

∵∠E=30°,

∴∠OCE=45°.

②作OG⊥CE于點(diǎn)G,可得FG=CG,

∵OC=2,∠OCE=45°.

∴CG=OG=2,

∴FG=2;

∵在RT△OGE中，∠E=30°，

∴GE=2,

∴EF=GE-FG=2-2.