Question

如圖（1）先把一張矩形紙片ABCD上下對折，設(shè)折痕為MN；如圖（2）再把點(diǎn)B疊在折痕線上，得到△ABE，過點(diǎn)B向右折紙片，使D、Q、A三點(diǎn)扔保持在一條直線上，得折痕PQ．
（1）求證：△PBE∽△QAB．
（2）你認(rèn)為△PBE和△BAE相似嗎？若相似給出證明；若不相似請說明理由．
（3）延長EB交AD于點(diǎn)H，請直接寫出△AEH的形狀為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)∠ABE=90°得∠EBP+∠ABQ=90°，證出∠ABQ=∠PEB，再根據(jù)△PBE和△QAB都是直角三角形，得出∠BPE=∠AQB=90°，即可證出△PBE∽△QAB；
（2）根據(jù)△PBE和△BAE都是直角三角形，利用（1）的結(jié)論，結(jié)合BP=BQ可證直角的兩邊對應(yīng)成比例，從而得出△PBE和△BAE相似；
（3）根據(jù)題意先畫出圖形，根據(jù)ASA證出△PBE≌△QBH得出BE=BH，再根據(jù)AB⊥EH，得出AE=AH，∠EAB=∠HAB=60°，從而得出答案．

解答：解：（1）∵∠PBE+∠ABQ=90°，∠PBE+∠PEB=90°，
∴∠ABQ=∠PEB．
在△PBE與△QAB中，
∵∠ABQ=∠PEB，∠BPE=∠AQB=90°，
∴△PBE∽△QAB．

（2）△PBE和△BAE相似．
∵△PBE∽△QAB，
∴

BE

AB

=

PE

BQ

，
∵BQ=PB，
∴

BE

AB

=

PE

PB

，
又∵∠EPB=∠EBA=90°，
∴△PBE∽△BAE．

（3）在△PBE和△QBH中，

∠PBE=∠QBH BP=BQ ∠BPE=∠BQH

，
∴△PBE≌△QBH（ASA），
∴BE=BH，
∵AB⊥EH，
∴AE=AH，∠EAB=∠HAB=60°，
∴△AEH是等邊三角形；
故答案為：等邊三角形．

點(diǎn)評：此題考查了相似形的綜合，用到的知識點(diǎn)是全等三角形和相似三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定，關(guān)鍵是畫出圖形，找出圖形中的全等三角形和相似三角形．