Question

例題：計算：
（1）1+

1

1+2

+

1

1+2+3

+…+

1

1+2+3+…+100

；（“祖沖之杯”邀請賽試題）
（2）1949²-1950²+1951²-1952²+…+1997²-1998²+1999²；（北京市競賽題）
（3）5+5²+5³+…十5²⁰⁰²．

Answer 1

考點：平方差公式,有理數(shù)的混合運算,規(guī)律型：數(shù)字的變化類

專題：計算題

分析：（1）首先計算每個分母值，則易掩蓋問題的實質(zhì)，不妨先從考察一般情形人手；
（2）使人易聯(lián)想到平方差公式；
（3）由于相鄰的后一項與前一項的比都是5，可從用字母表示和式著手．

解答：解：（1）根據(jù)題意觀察得出第n項的一般形式為：

1

n(n+1) 2

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），
∴1+

1

1+2

+

1

1+2+3

+…+

1

1+2+3+…+100

，
=2（1-

1

2

）+2（

1

2

-

1

3

）+2（

1

3

-

1

4

）+…+2（

1

100

-

1

101

），
=

200

101

；

（2）1949²-1950²+1951²-1952²+…+1997²-1998²+1999²，
=（1949-1950）（1949+1950）+（1951-1952）（1951+1952）+…+（1997-1998）（1997+1998）+1999²，
=-（1949+1950+1951+1952+…+1997+1998）+1999²，
=-98675+3996001，
=3897326；

（3）設(shè)x=5+5²+5³+…+5²⁰⁰²，則5x=5²+5³+…+5²⁰⁰²+5²⁰⁰³，
所以4x=5²+5³+…+5²⁰⁰²+5²⁰⁰³-（5+5²+5³+…+5²⁰⁰²）=5²⁰⁰³-5，
∴x=

52003-5

4

．

點評：本題考查了平方差公式及有理數(shù)的混合運算，難度比較大，重點掌握（a+b）（a-b）=a²-b²．