Question

函數(shù)f（x）=x²+mx+m₀（a，b∈R）的定義域為[-1，1]，且|f（x）|的最大值為M．
（1）證明：|1+m₀|≤M；
（2）求M的最小值，并求出當M取最小值時函數(shù)f（x）的解析式．

Answer 1

解：（1）證明：由已知：|f（-1）|=|1-m+m₀|≤M，|f（1）|=|1+m+m₀|≤M，
由公式：|（1-m+m₀）+（1+m+m₀）|≤|1-m+m₀|+|1+m+m₀|，
所以|2+2m₀|≤2M，
|1+m₀|≤M；
（2）∵f（0）=m₀，|f（0）|=|m₀|≤M，
∴|（1+m₀）-m₀|≤|1+m₀|+|m₀|≤2M，
∴M≥．
∴M的最小值為，
根據(jù)題意得出：1-m+m₀=，1+m+m₀=，
解得：，
∴M取最小值時，函數(shù)f（x）的解析式為：y=x²-．
分析：（1）根據(jù)f（x）=x²+mx+m₀（a，b∈R）的定義域為[-1，1]，且|f（x）|的最大值為M，得出|f（-1）|=|1-m+m₀|≤M，|f（1）|=|1+m+m₀|≤M，進而得出|2+2m₀|≤2M，即可得出答案；
（2）利用f（0）=m₀，|f（0）|=|m₀|≤M，即可得出|（1+m₀）-m₀|≤|1+m₀|+|m₀|≤2M，再利用M取最小值求出函數(shù)f（x）的解析式．
點評：此題主要考查了函數(shù)定義域的性質(zhì)，利用不等式的性質(zhì)得出|（1-m+m₀）+（1+m+m₀）|≤|1-m+m₀|+|1+m+m₀|是解決問題的關(guān)鍵．