Question

（1）問題發(fā)現(xiàn):如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點A，D，E在同一直線上，連接BE．

填空：①∠AEB的度數(shù)為 ___ ______；

②線段AD，BE之間的數(shù)量關系為 ___ ______．

（2）拓展探究

如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點A，D ，E在同一直線上，CM為△DCE中 DE邊上的高，連接BE，請判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM，AE，BE之間的數(shù)量關系，并說明理由．

 

 

Answer 1

（1）60°．AE=BE+2CM．（2）AE=BE+2CM．

【解析】

試題分析：（1）由條件易證△ACD≌△BCE，從而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC．由點A，D，E在同一直線上可求出∠ADC，從而可以求出∠AEB的度數(shù)．

（2）仿照（1）中的解法可求出∠AEB的度數(shù)，證出AD=BE；由△DCE為等腰直角三角形及CM為△DCE中DE邊上的高可得CM=DM=ME，從而證到AE=2CH+BE．

試題解析：（1）①如圖1，

∵△ACB和△DCE均為等邊三角形，

∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°．

∴∠ACD=∠BCE．

在△ACD和△BCE中，

∴△ACD≌△BCE．

∴∠ADC=∠BEC．

∵△DCE為等邊三角形，

∴∠CDE=∠CED=60°．

∵點A，D，E在同一直線上，

∴∠ADC=120°．

∴∠BEC=120°．

∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=60°．

②∵△ACD≌△BCE，

∴AD=BE．

（2）∠AEB=90°，AE=BE+2CM．

理由：如圖2，

∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，

∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°．

∴∠ACD=∠BCE．

∵△ACD≌△BCE．

∴AD=BE，∠ADC=∠BEC．

∵△DCE為等腰直角三角形，

∴∠CDE=∠CED=45°．

∵點A，D，E在同一直線上，

∴∠ADC=135°．

∴∠BEC=135°．

∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°．

∵CD=CE，CM⊥DE，

∴DM=ME．

∵∠DCE=90°，

∴DM=ME=CM．

∴AE=AD+DE=BE+2CM．

考點：1。全等三角形的判定與性質；2．等腰三角形的性質；3．等邊三角形的性質；4．直角三角形斜邊上的中線