Question

已知：?ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，DE平分∠ADF，
（1）如圖1，求證：2∠EFD+∠DFC=180°
（2）如圖2，在（1）問條件下，CF=CD、CM⊥DE于M，N為DF的中點(diǎn)，且tan∠CDF=

3

4

，試確定MN和EF的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）延長FE交DA的延長線于點(diǎn)G，作EM⊥DA于M，EH⊥DF于F，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)就可以得出∠G=∠EFD=∠BFG，再由平角的定義就可以得出結(jié)論；
（2）作ED的中點(diǎn)Q，連接NQ，CN，就可以得出EF=2NQ，由等腰三角形的性質(zhì)就可以得出∠DNC=90°，得出∠NCM=∠NDM，進(jìn)而得出M、N、C、D四點(diǎn)共圓，就有∠NCD=∠QMN，由tan∠CDF=

3

4

，就可以得出sin∠NCD=sin∠QMN=

4

5

，就可以表示出MN與NQ的關(guān)系，進(jìn)而得出結(jié)論．

解答：解：（1）延長FE交DA的延長線于點(diǎn)G，作EM⊥DA于M，EH⊥DF于F，
∴∠GME=∠FHE=90°．
∵DE平分∠ADF，
∴EM=EH．∠ADE=∠FDE．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠G=∠EFB，∠GAE=∠B．
∵E為AB的中點(diǎn)，
∴AE=BE．
在△GAE和△FBE中，

∠G=∠EFB ∠GAE=∠B AE=BE

，
∴△GAE≌△FBE（AAS），
∴GE=AE．
在Rt△GME和Rt△FHE中

GE=HE EM=EH

，
∴∠G=∠EFH，
∴∠EFB=∠EFD．
∵∠EFB+∠EFD+∠DFC=180°，
∴2∠EFD+∠DFC=180°；

（2）作ED的中點(diǎn)Q，連接NQ，CN．
∵N為DF的中點(diǎn)，
∴NQ是△EFD的中位線，
∴QN∥EF，QN=

1

2

EF．
∴EF=2QN．
∵∠G=∠EFH，
∴DG=DF，GE=FE，
∴DE⊥GF，
∴∠DEF=90°，
∴∠DQN=90°．
∵CF=CD，N為DF的中點(diǎn)，
∴CN⊥DF，
∴∠CND=90°．
∵CM⊥DE，
∴∠CMD=90°，
∴∠NCM=∠NDM，
∴點(diǎn)M、N、C、D四點(diǎn)共圓，
∴∠NCD=∠QMN．
∵tan∠CDF=

3

4

，
∴sin∠NCD=

4

5

，
∴sin∠QMN=

QN

MN

=

4

5

．
∴MN=

5

4

QN．
∴

MN

EF

=

5 4 QN

2QN

=

5

8

．

點(diǎn)評：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，角平分線的性質(zhì)的運(yùn)用，三角形的中位線的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，四點(diǎn)共圓的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，三角函數(shù)值的運(yùn)用，解答時運(yùn)用三角形的中位線的性質(zhì)求解是關(guān)鍵，運(yùn)用三角函數(shù)值求解是難點(diǎn)．