已知一個(gè)正三角形和一個(gè)正六邊形的周長(zhǎng)相等，求它們的面積的比值．

解：設(shè)它們的周長(zhǎng)是1．根據(jù)題意，得
正三角形的邊長(zhǎng)是，正六邊形的邊長(zhǎng)是．
則正三角形的邊心距是，正六邊形的邊心距是．
則正三角形的面積是，正六邊形的面積是．
則它們的面積比是2：3．
分析：根據(jù)正多邊形的面積等于周長(zhǎng)與邊心距的乘積的一半，所以只需根據(jù)它們的周長(zhǎng)計(jì)算其邊心距；在由正多邊形的半徑、邊心距和邊長(zhǎng)組成的直角三角形中，根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念可以分別求得它們的邊心距，再進(jìn)一步計(jì)算其面積，從而得到其比值．
點(diǎn)評(píng)：熟悉正多邊形的面積公式：正多邊形的面積等于周長(zhǎng)與邊心距的乘積的一半．能夠根據(jù)由半徑、邊心距和半邊組成的直角三角形，運(yùn)用銳角三角函數(shù)進(jìn)行計(jì)算．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

26、如圖，已知∠AOB=120°，OM平分∠AOB，將正三角形的一個(gè)頂點(diǎn)P放在射線OM上，兩邊分別與OA、OB交于點(diǎn)C、D．

（1）如圖①若邊PC和OA垂直，那么線段PC和PD相等嗎？為什么？
（2）如圖②將正三角形繞P點(diǎn)轉(zhuǎn)過一角度，設(shè)兩邊與OA、OB分別交于C′，D′，那么線段PC′和PD′相等嗎？為什么？

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

為了探究夾角為60°的V形架中放置正多邊形鋼板的穩(wěn)定性問題（正多邊形的重心就是它的中心，重心越低越穩(wěn)定），請(qǐng)按以下放置的方式進(jìn)行計(jì)算和猜想：
（1）將一個(gè)邊長(zhǎng)為 20cm的正三角形鋼板（用△ABC表示）按圖1，圖2，圖3，的三種方式進(jìn)行放置．已知在圖3中，重心距地面的距離為
20
3
3
，請(qǐng)通過計(jì)算或證明說明，三種放法中，哪一種放法最穩(wěn)定？
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（2）若將（l）中的正三角形鋼板換成邊長(zhǎng)為 20cm的正方形鋼板（如圖4，圖5，圖6）．已知在圖6中，重心距地面的距離約為23.7cm，請(qǐng)通過計(jì)算或證明說明，三種放法中，哪一種放法最穩(wěn)定？（可能用到的數(shù)據(jù)：
2
≈1.4；
3
≈1.7；
6
≈2.4）
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（3）通過上述計(jì)算，若將一個(gè)邊長(zhǎng)為 20cm的正六邊形鋼板放置于架中（如圖7，圖8，圖9），你認(rèn)為
 
的重心最低（只須填圖形的編號(hào)，不必計(jì)算）．
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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

23、如圖，已知∠XOY=90°，正△PAB的頂點(diǎn)P與O點(diǎn)重合，頂點(diǎn)A是射線OX上的一個(gè)定點(diǎn)，另一頂點(diǎn)B在∠XOY的內(nèi)部．
（1）當(dāng)頂點(diǎn)P在射線OY上移動(dòng)到點(diǎn)P1時(shí)，連接AP1，請(qǐng)用尺規(guī)作圖∠XOY內(nèi)部作出以AP1為邊的正三角形（要求：保留作圖痕跡，不寫作法和證明）；
（2）設(shè)AP1交OB于點(diǎn)C，AB的延長(zhǎng)線交B1P1于點(diǎn)D．求證：△ABC∽△AP1D；
（3）連接BB1，求∠ABB1的度數(shù)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）如圖1，是某市公園周圍街巷的示意圖，A點(diǎn)表示1街與2巷的十字路口，B點(diǎn)表示3街與5巷的十字路口，如果用（1，2）→（2，2）→（3，2）→（3，3）→（3，4）→（3，5）表示由A點(diǎn)到B點(diǎn)的一條路徑，那么，你能同樣的方法寫出由A點(diǎn)到B點(diǎn)盡可能近的其他兩條路徑嗎？

（2）從正三角形、正四邊形、正五邊形、正六邊形、正八邊形、正十邊形、正十二邊形中任選兩種正多邊形鑲嵌，請(qǐng)全部寫出這兩種正多邊形．并從其中任選一種探索這兩種正多邊形共能鑲嵌成幾種不同的平面圖形？說明你的理由．
（3）如圖2所示，已知AB∥CD，分別探索下列四個(gè)圖形中∠P（均為小于平角的角）與∠A，∠C的關(guān)系，請(qǐng)你從所得的四個(gè)關(guān)系中任選一個(gè)加以說明．
（4）閱讀材料：多邊形上或內(nèi)部的一點(diǎn)與多邊形各頂點(diǎn)的連線，將多邊形分割成若干個(gè)小三角形．如圖3給出了四邊形的具體分割方法，分別將四邊形分割成了2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)小三角形．
請(qǐng)你按照上述方法將圖4中的六邊形進(jìn)行分割，并寫出得到的小三角形的個(gè)數(shù)以及求出每個(gè)圖形中的六邊形的內(nèi)角和．試把這一結(jié)論推廣至n邊形，并推導(dǎo)出n邊形內(nèi)角和的計(jì)算公式．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：2011年沈陽招生中考數(shù)學(xué)試題 題型：解答題

如圖，已知∠AOB＝120°，OM平分∠AOB，將正三角形的一個(gè)頂點(diǎn)P放在射

線OM上，兩邊分別與OA、OB交于點(diǎn)C、D．

(1)如圖①若邊PC和OA垂直，那么線段PC和PD相等嗎？為什么？

(2)如圖②將正三角形繞P點(diǎn)轉(zhuǎn)過一角度，設(shè)兩邊與OA、OB分別交于C'，D'，那么線段PC'

和PD'相等嗎？為什么？

 

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