Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，點A的坐標(biāo)為（0，4），點B的坐標(biāo)為（4，0），點C的坐標(biāo)為（﹣4，0），點P在射線AB上運動，連結(jié)CP與y軸交于點D，連結(jié)BD．過P，D，B三點作⊙Q與y軸的另一個交點為E，延長DQ交⊙Q于點F，連結(jié)EF，BF．

 （1）求直線AB的函數(shù)解析式；

（2）當(dāng)點P在線段AB（不包括A，B兩點）上時．

①求證：∠BDE=∠ADP；

②設(shè)DE=x，DF=y．請求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

（3）請你探究：點P在運動過程中，是否存在以B，D，F(xiàn)為頂點的直角三角形，滿足兩條直角邊之比為2：1？如果存在，求出此時點P的坐標(biāo)：如果不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：

一次函數(shù)綜合題．

分析：

（1）設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為y=kx+4，把（4，0）代入即可；

（2）①先證出△BOD≌△COD，得出∠BOD=∠CDO，再根據(jù)∠CDO=∠ADP，即可得出∠BDE=∠ADP，

②先連結(jié)PE，根據(jù)∠ADP=∠DEP+∠DPE，∠BDE=∠ABD+∠OAB，∠ADP=∠BDE，∠DEP=∠ABD，得出∠DPE=∠OAB，再證出∠DFE=∠DPE=45°，最后根據(jù)∠DEF=90°，得出△DEF是等腰直角三角形，從而求出DF=DE，即y=x；

（3）當(dāng)=2時，過點F作FH⊥OB于點H，則∠DBO=∠BFH，再證出△BOD∽△FHB，===2，得出FH=2，OD=2BH，再根據(jù)∠FHO=∠EOH=∠OEF=90°，得出四邊形OEFH是矩形，OE=FH=2，EF=OH=4﹣OD，根據(jù)DE=EF，求出OD的長，從而得出直線CD的解析式為y=x+，最后根據(jù)求出點P的坐標(biāo)即可；

當(dāng)=時，連結(jié)EB，先證出△DEF是等腰直角三角形，過點F作FG⊥OB于點G，同理可得△BOD∽△FGB，===，得出FG=8，OD=BG，再證出四邊形OEFG是矩形，求出OD的值，再求出直線CD的解析式，最后根據(jù)即可求出點P的坐標(biāo)．

解答：

解：（1）設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為y=kx+4，

代入（4，0）得：4k+4=0，

解得：k=﹣1，

則直線AB的函數(shù)解析式為y=﹣x+4；

（2）①由已知得：

OB=OC，∠BOD=∠COD=90°，

又∵OD=OD，

∴△BOD≌△COD，

∴∠BOD=∠CDO，

∵∠CDO=∠ADP，

∴∠BDE=∠ADP，

②連結(jié)PE，

∵∠ADP是△DPE的一個外角，

∴∠ADP=∠DEP+∠DPE，

∵∠BDE是△ABD的一個外角，

∴∠BDE=∠ABD+∠OAB，

∵∠ADP=∠BDE，∠DEP=∠ABD，

∴∠DPE=∠OAB，

∵OA=OB=4，∠AOB=90°，

∴∠OAB=45°，

∴∠DPE=45°，

∴∠DFE=∠DPE=45°，

∵DF是⊙Q的直徑，

∴∠DEF=90°，

∴△DEF是等腰直角三角形，

∴DF=DE，即y=x；

（3）當(dāng)BD：BF=2：1時，

過點F作FH⊥OB于點H，

∵∠DBO+∠OBF=90°，∠OBF+∠BFH=90°，

∴∠DBO=∠BFH，

又∵∠DOB=∠BHF=90°，

∴△BOD∽△FHB，

∴===2，

∴FH=2，OD=2BH，

∵∠FHO=∠EOH=∠OEF=90°，

∴四邊形OEFH是矩形，

∴OE=FH=2，

∴EF=OH=4﹣OD，

∵DE=EF，

∴2+OD=4﹣OD，

解得：OD=，

∴點D的坐標(biāo)為（0，），

∴直線CD的解析式為y=x+，

由得：，

則點P的坐標(biāo)為（2，2）；

當(dāng)=時，

連結(jié)EB，同（2）①可得：∠ADB=∠EDP，

而∠ADB=∠DEB+∠DBE，∠EDP=∠DAP+∠DPA，

∵∠DEP=∠DPA，

∴∠DBE=∠DAP=45°，

∴△DEF是等腰直角三角形，

過點F作FG⊥OB于點G，

同理可得：△BOD∽△FGB，

∴===，

∴FG=8，OD=BG，

∵∠FGO=∠GOE=∠OEF=90°，

∴四邊形OEFG是矩形，

∴OE=FG=8，

∴EF=OG=4+2OD，

∵DE=EF，

∴8﹣OD=4+2OD，

OD=，

∴點D的坐標(biāo)為（0，﹣），

直線CD的解析式為：y=﹣x﹣，

由得：，

∴點P的坐標(biāo)為（8，﹣4），

綜上所述，點P的坐標(biāo)為（2，2）或（8，﹣4）．

點評：

此題考查了一次函數(shù)的綜合，用到的知識點是一次函數(shù)、矩形的性質(zhì)、圓的性質(zhì)，關(guān)鍵是綜合運用有關(guān)知識作出輔助線，列出方程組．