Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90°，AC⊥BC，AB=10cm，BC=6cm，F(xiàn)點以2cm/秒的速度在線段AB上由A向B勻速運動，E點同時以1cm/秒的速度在線段BC上由B向C勻速運動，設(shè)運動時間為t秒 （0＜t＜5）．
（1）求證：△ACD∽△BAC；
（2）求DC的長；
（3）設(shè)四邊形AFEC的面積為y，求y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

【答案】分析：（1）由CD∥AB，得∠DCA=∠CAB，加上一組直角，即可證得所求的三角形相似．
（2）在Rt△ABC中，由勾股定理可求得AC的長，根據(jù)（1）題所得相似三角形的比例線段，即可求出DC的長．
（3）分析圖象可知：四邊形AFEC的面積可由△ABC、△BEF的面積差求得，分別求出兩者的面積，即可得到y(tǒng)、t的函數(shù)關(guān)系式，進而可根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)及自變量的取值范圍求出y的最小值．
解答：（1）證明：∵CD∥AB，
∴∠BAC=∠DCA
又AC⊥BC，∠ACB=90°，∴∠D=∠ACB=90°，
∴△ACD∽△BAC；

（2）解：Rt△ABC中，AC==8，
∵△ACD∽△BAC，∴=，
即 ，
解得：DC=6.4；

（3）解：過點E作AB的垂線，垂足為G，
∵∠ACB=∠EGB=90°，∠B公共角，
∴△ACB∽△EGB，
∴，即 ，故 ；
y=S_△ABC-S_△BEF
=，
=；
故當(dāng)t=時，
y的最小值為19．
點評：此題考查了梯形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、圖形面積的求法以及二次函數(shù)最值的應(yīng)用等知識，能夠?qū)⒚娣e問題轉(zhuǎn)換為二次函數(shù)的最值問題是解答（3）題的關(guān)鍵．