Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4），動(dòng)點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位長的速度，從點(diǎn)O出發(fā)沿x軸的正方向運(yùn)動(dòng)，M是線段AC的中點(diǎn)．將線段AM以點(diǎn)A為中心，沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到線段AB．過點(diǎn)B作x軸的垂線，垂足為E，過點(diǎn)C作y軸的垂線，交直線BE于點(diǎn)D．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）求證：△COA∽△AEB；

（2）設(shè)△BCD的面積為S當(dāng)t為何值時(shí)，S＝；

（3）連接MB，當(dāng)MB∥OA時(shí)，如果拋物線y＝ax2﹣10ax的頂點(diǎn)在△ABM的內(nèi)部（不包括邊），求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）t＝3或3+5時(shí)；（3）.

【解析】

(1)根據(jù)∠CAO＝∠ABE，∠COA＝∠AEB＝90°，即可證明；

(2)求△BCD的面積時(shí)，可以CD為底、BD為高來解，那么表示出BD的長是關(guān)鍵；Rt△CAO∽Rt△ABE，且知道AC、AB的比例關(guān)系，即可通過相似三角形的對應(yīng)邊成比例求出BE的長，進(jìn)一步得到BD的長，在表達(dá)BD長時(shí)，應(yīng)分兩種情況考慮：①B在線段DE上，②B在ED的延長線上；

(3)首先將拋物線的解析式進(jìn)行配方，可得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，將其橫坐標(biāo)分別代入直線MB、AB的解析式中，可得到拋物線對稱軸與這兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)這兩個(gè)坐標(biāo)即可判定出a的取值范圍．

(1)∵∠CAO+∠BAE＝90°，∠ABE+∠BAE＝90°，

∴∠CAO＝∠ABE，

∵∠COA＝∠AEB＝90°，

∴△CAO∽△ABE；

(2)由Rt△CAO∽Rt△ABE可知：BE＝，AE＝2．

當(dāng)0＜t＜8時(shí)，S＝CDBD＝(2+t)(4﹣)＝，

∴t1＝t2＝3，

當(dāng)t＞8時(shí)，S＝CDBD＝(2+t)(﹣4)＝，

∴t1＝3+5，t2＝3﹣5(為負(fù)數(shù)，舍去)，

當(dāng)t＝3或3+5時(shí)，S＝；

(3)過M作MN⊥x軸于N，則MN＝CO＝2．

當(dāng)MB∥OA時(shí)，BE＝span>MN＝2，OA＝2BE＝4，

拋物線y＝ax2﹣10ax的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(5，﹣25a)，

它的頂點(diǎn)在直線x＝5上移動(dòng)，

直線x＝5交MB于點(diǎn)(5，2)，交AB于點(diǎn)(5，1)，

∴1＜﹣25a＜2，

∴．