Question

如圖①，BO、CO分別為∠ABC和∠ACB的平分線，我們易得∠BOC=90°+∠A（不必證明，本題可直接運(yùn)用）；在圖②中，當(dāng)BO′、CO′分別為∠ABC和∠ACB的外角平分線時，求∠BO′C與∠A的數(shù)量關(guān)系．我們可以利用“轉(zhuǎn)化”的思想，將未知的∠BO′C轉(zhuǎn)化為已知的∠BOC：如圖②，作BO、CO平分∠ABC和∠ACB．

（1）在圖②中存在如圖③的基本圖形：點(diǎn)A、B、D在同一直線上，且BO、BO′分別平分∠ABC和∠DBC，試證明：BO⊥BO′；
（2）試直接利用上述基本圖形的結(jié)論，猜想并證明圖②中∠BO′C與∠A的數(shù)量關(guān)系；
（3）如圖④，BP、CP分別為內(nèi)角∠ABC和外角∠ACF的平分線，試運(yùn)用上述轉(zhuǎn)化的思想猜想并證明∠BPC與∠A的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

（1）證明：如圖③，∵BO、BO′分別平分∠ABC和∠DBC，
∴∠CBO=∠ABC，∠CBO′=∠CBD，
∵∠ABC+∠DBC=180°，
∴∠CBO+∠CBO′=（∠ABC+∠DBC）=90°；

（2）猜想：∠BO′C=90°-∠A．
證明：由（1）中基本圖形結(jié)論得：∠OBO′=∠OCO′=90°．
∵∠OBO′+∠OCO′+∠BOC+∠BO′C=360°，
∴∠BO′C=360°-180°-∠BOC=180°-∠BOC，
∴∠BO′C=90°-∠A．

（3）猜想：∠BPC=∠A．
證明：如圖④，作CO平分∠ACB，交BP于點(diǎn)O．
由（1）中基本圖形結(jié)論得到：∠OCP=90°．∵∠BPC=90°+∠A，
∴∠BPC=∠BOC-∠OCP=∠A．
分析：（1）根據(jù)角平分線、平角的定義進(jìn)行證明；
（2）∠BO′C=90°-∠A．由（1）中基本圖形結(jié)論得：∠OBO′=∠OCO′=90°．根據(jù)四邊形內(nèi)角和是360度得到：∠OBO′+∠OCO′+∠BOC+∠BO′C=360°，則
∠BO′C=90°-∠A．
（3）猜想：∠BPC=∠A．如圖④，作CO平分∠ACB，交BP于點(diǎn)O．由（1）中基本圖形結(jié)論得到：∠OCP=90°．利用∠BPC=90°+∠A，故∠BPC=∠BOC-∠OCP=∠A．
點(diǎn)評：本題考查了三角形的外角性質(zhì)與內(nèi)角和定理，熟記三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵，讀懂題目提供的信息，然后利用提供信息的思路也很重要．