Question

【題目】如圖所示，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸為直線x＝1．直線y＝﹣x+c與拋物線y＝ax2+bx+c交于C，D兩點(diǎn)，D點(diǎn)在x軸下方且橫坐標(biāo)小于3，則下列結(jié)論中正確的是（　　）

A.a﹣b+c＞0B.2a+b+c＜0

C.D.a＜﹣1

Answer 1

【答案】D

【解析】

利用拋物線與y軸的交點(diǎn)位置得到c＞0，利用對(duì)稱軸方程得到b＝﹣2a，則2a+b+c＝c＞0，利用拋物線的對(duì)稱性得到拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)（﹣1，0）右側(cè)，則當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＜0，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到x＝1時(shí)，二次函數(shù)有最大值，則ax2+bx+c≤a+b+c，由于直線y＝﹣x+c與拋物線y＝ax2+bx+c交于C、D兩點(diǎn)，D點(diǎn)在x軸下方且橫坐標(biāo)小于3，利用函數(shù)圖象得x＝3時(shí)，一次函數(shù)值比二次函數(shù)值大，即9a+3b+c＜﹣3+c，然后把b＝﹣2a代入解a的不等式．

解：∵拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，

∴c＞0，

∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝＝1，

∴b＝﹣2a，

∴2a+b+c＝2a﹣2a+c＝c＞0，所以B錯(cuò)誤；

∵拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)（3，0）左側(cè)，

而拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，

∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)（﹣1，0）右側(cè)，

∴當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＜0，

∴a﹣b+c＜0，所以A錯(cuò)誤；

∵x＝1時(shí)，二次函數(shù)有最大值，

∴ax2+bx+c≤a+b+c，

∴ax2+bx≤a+b，所以C錯(cuò)誤；

∵直線y＝﹣x+c與拋物線y＝ax2+bx+c交于C、D兩點(diǎn)，D點(diǎn)在x軸下方且橫坐標(biāo)小于3，

∴x＝3時(shí)，一次函數(shù)值比二次函數(shù)值大，

即9a+3b+c＜﹣3+c，

而b＝﹣2a，

∴9a﹣6a＜﹣3，解得a＜﹣1，所以D正確．

故選：D．