Question

已知拋物線y=-x²+bx+c與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A（x₁，0），B（x₂，0）（A在B的左邊），且x₁+x₂=4．
（1）求b的值及c的取值范圍；
（2）如果AB=2，求拋物線的解析式；
（3）設(shè)此拋物線與y軸的交點(diǎn)為C，頂點(diǎn)為D，對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為E，問(wèn)是否存在這樣的拋物線，使△AOC和△BED全等，如果存在，求出拋物線的解析式；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）由已知得：x₁、x₂是方程-x²+bx+c=0的兩根，
∴△=b²-4•（-1）•c＞0，x₁+x₂=b，
又x₁+x₂=4，
∴b=4，c＞-4；

（2）由（1）可得y=-x²+4x+c，x₁+x₂=4，x₁•x₂=-c，
而AB=|x₁-x₂|=2，
∴（x₁-x₂）²=4，
即（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4，16+4c=4，
解得c=-3，
∴拋物線解析式為y=-x²+4x-3；

（3）存在；由（1）可得y=-x²+4x+c，
∴C（0，c），D（2，c+4）；
當(dāng)OC=DE時(shí)，|c|=c+4，
解得c=-2，
當(dāng)OC=BE時(shí)，AB=2OC，
即|x₁-x₂|=2|c|，
∴（x₁-x₂）²=4c²；16+4c=4c²
解得c=或；
滿足題意的拋物線解析式為：y=-x²+4x+，y=-x²+4x+．
分析：（1）由已知得：x₁、x₂是方程-x²+bx+c=0的兩根，則△＞0，及根與系數(shù)關(guān)系可求b的值及c的取值范圍；
（2）由根與系數(shù)關(guān)系及AB=|x₁-x₂|，可求c的值；
（3）根據(jù)圖形的全等分兩種情況，當(dāng)OC=DE時(shí)和當(dāng)OC=BE時(shí)，分別討論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)圖象和x軸的交點(diǎn)與一元二次方程兩根的關(guān)系，掌握用兩根的表達(dá)式表示線段的長(zhǎng)度，解決全等三角形的問(wèn)題．