Question

【題目】已知，點(diǎn)M是二次函數(shù)y=ax2（a＞0）圖象上的一點(diǎn)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0， ），直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)原點(diǎn)O與點(diǎn)M，F(xiàn)在同一個(gè)圓上，圓心Q的縱坐標(biāo)為 ．

（1）求a的值；
（2）當(dāng)O，Q，M三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，求點(diǎn)M和點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)點(diǎn)M在第一象限時(shí)，過點(diǎn)M作MN⊥x軸，垂足為點(diǎn)N，求證：MF=MN+OF．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵圓心O的縱坐標(biāo)為 ，

∴設(shè)Q（m， ），F(xiàn)（0， ），

∵QO=QF，

∴m2+（ ）2=m2+（ ﹣ ）2，

∴a=1，

∴拋物線為y=x2

（2）

解：∵M(jìn)在拋物線上，設(shè)M（t，t2），Q（m， ），

∵O、Q、M在同一直線上，

∴KOM=KOQ，

∴ = ，

∴m= ，

∵QO=QM，

∴m2+（ ）2=（m﹣t）2=（ ﹣t2）2，

整理得到：﹣ t2+t4+t2﹣2mt=0，

∴4t4+3t2﹣1=0，

∴（t2+1）（4t2﹣1）=0，

∴t1= ，t2=﹣ ，

當(dāng)t1= 時(shí)，m1= ，

當(dāng)t2=﹣ 時(shí)，m2=﹣ ．

∴M1（ ， ），Q1（ ， ），M2（﹣ ， ），Q2（﹣ ， ）

（3）

解：設(shè)M（n，n2）（n＞0），

∴N（n，0），F(xiàn)（0， ），

∴MF= =n2+ ，MN+OF=n2+ ，

∴MF=MN+OF．

【解析】（1）設(shè)Q（m， ），F(xiàn)（0， ），根據(jù)QO=QF列出方程即可解決問題．（2）設(shè)M（t，t2），Q（m， ），根據(jù)KOM=KOQ ， 求出t、m的關(guān)系，根據(jù)QO=QM列出方程即可解決問題．（3）設(shè)M（n，n2）（n＞0），則N（n，0），F(xiàn)（0， ），利用勾股定理求出MF即可解決問題．本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用、三點(diǎn)共線的條件、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是設(shè)參數(shù)解決問題，把問題轉(zhuǎn)化為方程解決，屬于中考常考題型．