Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，AE和過點C的切線互相垂直，垂足為E，AE交⊙O于點D，直線EC交AB的延長線于點P，連接AC，BC，PB：PC=1：2．
（1）求證：AC平分∠BAD；
（2）探究線段PB，AB之間的數量關系，并說明理由；
（3）若AD=3，求△ABC的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OC，

∵PE是⊙O的切線，

∴OC⊥PE，

∵AE⊥PE，

∴OC∥AE，

∴∠DAC=∠OCA，

∵OA=OC，

∴∠OCA=∠OAC，

∴∠DAC=∠OAC，

∴AC平分∠BAD

（2）解：線段PB，AB之間的數量關系為：AB=3PB．

理由：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠BAC+∠ABC=90°，

∵OB=OC，

∴∠OCB=∠ABC，

∵∠PCB+∠OCB=90°，

∴∠PCB=∠PAC，

∵∠P是公共角，

∴△PCB∽△PAC，

∴ ，

∴PC2=PBPA，

∵PB：PC=1：2，

∴PC=2PB，

∴PA=4PB，

∴AB=3PB

（3）解：過點O作OH⊥AD于點H，則AH= AD= ，四邊形OCEH是矩形，

∴OC=HE，

∴AE= +OC，

∵OC∥AE，

∴△PCO∽△PEA，

∴ ，

∵AB=3PB，AB=2OB，

∴OB= PB，

∴ = ，

∴OC= ，

∴AB=5，

∵△PBC∽△PCA，

∴ ，

∴AC=2BC，

在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，

∴（2BC）2+BC2=52，

∴BC= ，

∴AC=2 ，

∴S△ABC= ACBC=5．

【解析】（1）首先連接OC，由PE是⊙O的切線，AE和過點C的切線互相垂直，可證得OC∥AE，又由OA=OC，易證得∠DAC=∠OAC，即可得AC平分∠BAD；（2）由AB是⊙O的直徑，PE是切線，可證得∠PCB=∠PAC，即可證得△PCB∽△PAC，然后由相似三角形的對應邊成比例與PB：PC=1：2，即可求得答案；（3）首先過點O作OH⊥AD于點H，則AH= AD= ，四邊形OCEH是矩形，即可得AE= +OC，由OC∥AE，可得△PCO∽△PEA，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得OC的長，再由△PBC∽△PCA，證得AC=2BC，然后在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2 ， 可得（2BC）2+BC2=52 ， 即可求得BC的長，繼而求得答案．