【題目】C為直角頂點(diǎn)的兩個(gè)等腰直角△CAB和△CDG,EAB的中點(diǎn),FDG的中點(diǎn).

1)如圖1,點(diǎn)AB分別在邊CD,CG上,則EFAD的數(shù)量關(guān)系是______________;

2)如圖2,點(diǎn)AB不在邊CD、CG上,(1)中EFAD的關(guān)系還成立嗎?請(qǐng)證明你的結(jié)論;

3)如圖3,若A、B、G在同一直線上,且AC、B、F在同一圓上,直接寫出△CDG與△CAB面積之比.

【答案】1AD=EF;(2成立,證明見(jiàn)解析;(3

【解析】試題分析:(1)連接CECF,證明CE、F三點(diǎn)共線,然后在RtACE中,由A=45°,可得AC=CE,同理,DC=CF,再根據(jù)AD=CD-AC,推導(dǎo)即可得;

2)成立,連接CE、CF,通過(guò)證明△ACD∽△ECF,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可得;

(3)連接CE,由A、C、BF在同一圓上,可知點(diǎn)E為圓心,從而可得CE=EF,再由(2)AD=EF、AC=CE從而可得AC=AD,由已知可得△ACD≌△BCG,從而可得∠ADC=∠AGB=22.5°,可得∠DAG=90°,設(shè)AE=x,則AB =2x,AG=2x+x,AD=x,由勾股定理DG2= (8+4)x2,再由△CDG∽△CAB,可得.

試題解析:(1)如圖(1)連接CE,CF

∵CA=CB,CD=CGEAB中點(diǎn),FDG中點(diǎn),∴CEAB,CFDG,

∵∠C=90°,∴∠CAB=∠CDG=45°,∴AB//DG,∴C、E、F三點(diǎn)共線,

RtACE中,∠A=45°,AC=CE

同理,DC=CF,

∵AD=CD-ACEF=CF-CE,

AD=EF

故答案為:AD=EF;

2)成立.

連接CE、CF,

∵∠ACB=∠DCG=90°,CA=CB,CD=CG,AE=BE,DF=GF,

∴∠ACE=45°,∠DCF=45°,∠CAB=∠CDG=45°,∠AEC=∠DFC=90°,

∴∠ACD=∠ECF,

RtACE中,∠CAE=45°,AC=CE

同理,DC=CF

∴ACCE=DCCF,

∴△ACD∽△ECF,∴AD:EF=AC:CE=

AD=EF;

3連接CE,

A、CB、F四點(diǎn)共圓,∠ACB=90°,AE=EB,∴E為圓心,

∴AE=CE=EF=BE,

∵∠ACB=∠DCG=90°,∴∠ACD=∠BCG

∵AC=BC,DC=GC,△ACD≌△BCG,

∴BG=AD,∠CDA=∠CGB,

由(2AD=EF、AC=CE∴AD=AC,

∴CB=BG,∴∠BCG=∠BGC,

∵∠BCG+∠BGC=∠ABC=45°,

∴∠BGC=22.5°,

∴∠ADC=22.5°,

∵∠CGD=∠CDG=45°,∴∠AGD=22.5°,

∴∠AGD+∠CDG+∠ADC=90°,

∴∠DAG=90°,

設(shè)AE=x,則AB =2x,AG=2x+x,AD=x,

由勾股定理DG2=AD2+AG2,

∴DG2=(x)2+(2x+x)2=(8+4)x2

∵△CDG∽△CAB,

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練習(xí)冊(cè)系列答案
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1)判斷AEAP的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.

2)在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,當(dāng)AEBC時(shí),判斷APBP的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.

3)若∠BAC=900,點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中是否存在線段AP與線段EC互相平分的情況,若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的位置;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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