【題目】已知,如圖點(diǎn)P是△ABC的邊BC上的一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)E與點(diǎn)P關(guān)于直線AB成軸對(duì)稱,連接EP交AB于點(diǎn)F,連接AP、EC相交于點(diǎn)O,連接AE.
(1)判斷AE與AP的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
(2)在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中,當(dāng)AE∥BC時(shí),判斷AP與BP的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
(3)若∠BAC=900,點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中是否存在線段AP與線段EC互相平分的情況,若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的位置;若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)相等,理由見解析;(2)相等,理由見解析;(3)存在,點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)時(shí),理由見解析
【解析】
(1)根據(jù)SAS證明△AEF≌△APF,再由全等三角形的面積得到AE=AP;
(2)由AE//BC可得∠EAB=∠B,由(1)可得∠EAB=∠BAP,所以∠B=∠BAP,再根據(jù)等角對(duì)等邊得BP=AP;
(3)當(dāng)點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)時(shí),由直角三角形的斜邊中點(diǎn)可得BP=CP=AP,從而得到∠B=∠BAP,又由(1)可得AE=AP=PB=PC和∠EAB=∠BAP,則∠B=∠EAB,再得到AE//BC,再根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等可得四邊形AEPC為平行四邊形,由平行四邊形的性質(zhì)可得AP和EC互相平分.
(1)∵點(diǎn)E與點(diǎn)P關(guān)于直線AB成軸對(duì)稱,
∴AB⊥EP且平分,
∴∠AFE=∠AFP,EF=PF,
在△AEF和△APF中,
,
∴△AEF≌△APF,
∴AE=AP;
(2)如圖所示:
∵AE//BC,
∴∠EAB=∠B,
∵△AEF≌△APF,
∴∠EAB=∠BAP,
∴∠B=∠BAP,
∴BP=AP;
(3)存在,當(dāng)點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)時(shí),
∵P是BC的中點(diǎn),∠BAC=90o,
∴BP=PC=AP,
∴∠B=∠BAP,
由(1)中△AEF≌△APF,
∴∠EAB=∠BAP,AE=AP,
∴∠B=∠EAB,AE=AP=BP=PC,
∴AE//PC,AE=PC,
∴四邊形AEPC是平行四邊形,
∴AP和CE互相平分.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn),直線BC與x軸交于點(diǎn),P是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)P與A、B不重合.
(1)求直線BC所對(duì)應(yīng)的的函數(shù)表達(dá)式;
(2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t,的面積為S.
①求出S與t的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量t的取值范圍;
②在線段BC上存在點(diǎn)Q,使得四邊形COPQ是平行四邊形,求此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,四邊形ABCD是正方形,點(diǎn)G是BC邊上任意一點(diǎn).DE⊥AG于點(diǎn)E,BF∥DE且交AG于點(diǎn)F.
(1)求證:AE=BF;
(2)如圖2,如果點(diǎn)G是BC延長線上一點(diǎn),其余條件不變,則線段AF、BF、EF有什么數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)證明出你的結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=8,AD=10,點(diǎn)E是CD的中點(diǎn),將這張紙片依次折疊兩次:第一次折疊紙片使點(diǎn)A與點(diǎn)E重合,如圖②,折痕為MN,連接ME,NE;第二次折疊紙片使點(diǎn)N與點(diǎn)E重合,如圖③,點(diǎn)B落到B′處,折痕為HG,連接HE,則下列結(jié)論:①ME∥HG;②△MEH是等邊三角形;③∠EHG=∠AMN;④tan∠EHG=.其中正確的個(gè)數(shù)是( )
A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,某校教學(xué)樓AB后方有一斜坡,已知斜坡CD的長為12米,坡角α為60°,根據(jù)有關(guān)部門的規(guī)定,∠α≤39°時(shí),才能避免滑坡危險(xiǎn),學(xué)校為了消除安全隱患,決定對(duì)斜坡CD進(jìn)行改造,在保持坡腳C不動(dòng)的情況下,學(xué)校至少要把坡頂D向后水平移動(dòng)多少米才能保證教學(xué)樓的安全?(結(jié)果取整數(shù))
(參考數(shù)據(jù):sin39°≈0.63,cos39°≈0.78,tan39°≈0.81,≈1.41,≈1.73,≈2.24)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為召開球類運(yùn)動(dòng)會(huì),學(xué)校決定購買一批籃球和足球,若購買3個(gè)籃球和2個(gè)足球共需420元;購買2個(gè)籃球和4個(gè)足球共需440元.
(1)求籃球和足球的單價(jià);
(2)根據(jù)實(shí)際需要,學(xué)校決定購買籃球和足球共100個(gè),其中購買籃球的數(shù)量不少于足球數(shù)量的,學(xué)校可用于購買這批籃球和足球的資金最多為8000元.請(qǐng)問有幾種購買方案?
(3)若購買籃球個(gè),學(xué)校購買這批籃球和足球的總費(fèi)用為元,在(2)的條件下,求哪種方案能使最小,并求出的最小值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在正方形ABCD中,AB=8,點(diǎn)P在邊CD上,tan∠PBC=,點(diǎn)Q是在射線BP上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)Q作AB的平行線交射線AD于點(diǎn)M,點(diǎn)R在射線AD上,使RQ始終與直線BP垂直.
(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)R與點(diǎn)D重合時(shí),求PQ的長;
(2)如圖2,試探索: 的比值是否隨點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)而發(fā)生變化?若有變化,請(qǐng)說明你的理由;若沒有變化,請(qǐng)求出它的比值;
(3)如圖3,若點(diǎn)Q在線段BP上,設(shè)PQ=x,RM=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出它的定義域.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對(duì)于⊙C與⊙C上的一點(diǎn)A,若平面內(nèi)的點(diǎn)P滿足:射線AP與⊙C交于點(diǎn)Q(點(diǎn)Q可以與點(diǎn)P重合),且,則點(diǎn)P稱為點(diǎn)A關(guān)于⊙C的“生長點(diǎn)”.
已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),⊙O的半徑為1,點(diǎn)A(-1,0).
(1)若點(diǎn)P是點(diǎn)A關(guān)于⊙O的“生長點(diǎn)”,且點(diǎn)P在x軸上,請(qǐng)寫出一個(gè)符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)________;
(2)若點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于⊙O的“生長點(diǎn)”,且滿足,求點(diǎn)B的縱坐標(biāo)t的取值范圍;
(3)直線與x軸交于點(diǎn)M,與y軸交于點(diǎn)N,若線段MN上存在點(diǎn)A關(guān)于⊙O的“生長點(diǎn)”,直接寫出b的取值范圍是_____________________________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】以C為直角頂點(diǎn)的兩個(gè)等腰直角△CAB和△CDG,E為AB的中點(diǎn),F為DG的中點(diǎn).
(1)如圖1,點(diǎn)A、B分別在邊CD,CG上,則EF與AD的數(shù)量關(guān)系是______________;
(2)如圖2,點(diǎn)A、B不在邊CD、CG上,(1)中EF與AD的關(guān)系還成立嗎?請(qǐng)證明你的結(jié)論;
(3)如圖3,若A、B、G在同一直線上,且A、C、B、F在同一圓上,直接寫出△CDG與△CAB面積之比.
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