Question

如圖，△ABC中，AB=AC，作以AB為直徑的⊙O與邊BC交于點D，過點D作⊙O的切線，分別交AC、AB的延長線于點E、F．
（1）求證：EF⊥AC；
（2）若BF=2，CE=1.2，求⊙O的半徑．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接OD，AD，由切線的性質(zhì)可得OD⊥EF，再利用圓周角定理證明AD⊥BC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可證明OD∥AC，由平行線的性質(zhì)即可得到EF⊥AC；
（2）設(shè)⊙O的半徑為x，由O∥AC，可得：△ODF∽△AEF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)：對應(yīng)邊的比值相等即可得到關(guān)于x的比例式，求出x的值即可．

解答：（1）證明：連接OD，AD，
∵EF是⊙O的切線，
∴OD⊥EF．
又∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC．
又∵AB=AC，
∴BD=DC．
∴OD∥AC．    
∴AC⊥EF．     

（2）解：設(shè)⊙O的半徑為x．
∵OD∥AE，
∴△ODF∽△AEF．
∴

OD

AE

=

OF

AF

，即

x

2x-1.2

=

2+x

2+2x

．
解得：x=3．
∴⊙O的半徑為3．

點評：本題主要考查了切線的性質(zhì)定理、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定和性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)，題目的綜合性較強(qiáng)，難度不大．