Question

【題目】已知：三角形紙片ABC中，∠C=90°，AB=12，BC=6，B′是邊AC上一點(diǎn)．將三角形紙片折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)B′重合，折痕與BC、AB分別相交于E、F．設(shè)BE=x，

（1）若x=4，求B′C的長；

（2）當(dāng)△AFB′是直角三角形時(shí)，求出x的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）x=4或2412

【解析】

（1）設(shè)B′C=y,根據(jù)折疊的性質(zhì)得BE=B′E=4，在Rt△EB'C中利用勾股定理得y2+（6-x）2=x2，然后代入求值，解方程即可；

（2）根據(jù)銳角三角函數(shù)，得∠A=30°，由折疊的性質(zhì)得到∠FB'E=∠B=60°，然后討論：①當(dāng)∠AFB'=90°時(shí)，則∠AB′F=60°，易得∠B'EC=30°，則B′C=B′E，即y=x，把y代入得到關(guān)于x的方程，解方程求出滿足條件的x的值；②當(dāng)∠AB'F=90°時(shí)，則∠EB'C=30°，即有EC=EB′，即6-x=x，解方程即可．

解：（1）設(shè)B′C=y

∵三角形紙片折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)B′重合，

∴BE=B′E，

∴B'E=x，CE=6-x，

在Rt△EB'C中，B'E2=CE2+B'C2，即y2+（6-x）2=x2，

當(dāng)x=4時(shí)，

∴y2+（6-4）2=42

解得：（負(fù)值舍去）

∴B′C′=；

（2）由（1）可知：y2+（6-x）2=x2，

解得：

∵∠C=90°，AB=12，BC=6，

∴

∴∠A=30°，

∴∠FB'E=∠B=60°，

①當(dāng)∠AFB'=90°時(shí)，則∠AB′F=60°，

∴∠EB'C=60°，

∴∠B'EC=30°，

∴B′C=B′E，即y=x，

∴，

解得x=24±12，

∵3≤x≤6，

∴x=24-12；

②當(dāng)∠AB'F=90°時(shí)，則∠EB'C=30°，

∴EC=EB′，即6-x=x，解得x=4，

所以x=4或2412時(shí)，△AFB’是直角三角形．