(2007•湘潭)如圖1,設(shè)拋物線y=x2-交x軸于A,B兩點(diǎn),頂點(diǎn)為D.以BA為直徑作半圓,圓心為M,半圓交y軸負(fù)半軸于C.
(1)求拋物線的對(duì)稱軸;
(2)將△ACB繞圓心M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°,得到三角形APB,如圖2.求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)有一動(dòng)點(diǎn)Q在線段AB上運(yùn)動(dòng),△QCD的周長(zhǎng)在不斷變化時(shí)是否存在最小值?若存在,求點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.

【答案】分析:(1)根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸公式即可得出所求的結(jié)果.
(2)可先根據(jù)拋物線的解析式求出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo),過(guò)P作PE⊥x軸于E,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)不難得出BE=OA,PE=OC,由此可求出P點(diǎn)的坐標(biāo).
(3)本題的關(guān)鍵是找出Q點(diǎn)的位置,取C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C′,連接C′D與x軸的交點(diǎn)就是Q點(diǎn).可先求出直線C′D的函數(shù)解析式,進(jìn)而可得出Q點(diǎn)的坐標(biāo).
解答:解:(1)由題意可知:拋物線的對(duì)稱軸為x=1.

(2)過(guò)P作PE⊥x軸于E,則有△PEB≌△OAC
易知A(-1,0)、B(3,0)、
C(0,-).
∴OA=BE=1,OB=AE=3,EP=OC=
∴OE=OB-BE=2
即P點(diǎn)坐標(biāo)為(2,).

(3)設(shè)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為C′(0,),
已知拋物線頂點(diǎn)D(1,-1).
設(shè)直線C′D的解析式為y=kx+,則有:
k+=-1,k=-1-
因此直線CD的解析式為y=(-1-)x+
令y=0,則x=
∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為(,0).
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn),(3)題找出Q點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵.
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(3)有一動(dòng)點(diǎn)Q在線段AB上運(yùn)動(dòng),△QCD的周長(zhǎng)在不斷變化時(shí)是否存在最小值?若存在,求點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.

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(1)請(qǐng)證明四邊形AEA′F為菱形;
(2)當(dāng)?shù)妊鰽BC滿足什么條件時(shí),按上述方法操作,四邊形AEA′F將變成正方形.(只寫結(jié)果,不作證明)

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