Question

如圖，矩形ABCD的頂點(diǎn)A坐標(biāo)為（0，0），頂點(diǎn)B的坐標(biāo)是（-2，1），頂點(diǎn)C在y軸上．
（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）將矩形ABCD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D落在x軸的點(diǎn)G處，得到矩形AEFG，EF與AD交于點(diǎn)H．過(guò)點(diǎn)H的反比例函數(shù)圖象交FG于點(diǎn)I．求△AHI的面積；
（3）小明猜想△AHI是一個(gè)直角三角形，他的猜想對(duì)嗎？請(qǐng)談?wù)勀愕目捶ǎ?/h1>

Answer 1

解：（1）過(guò)B，D作△ABC和△ACD的高BM，DN，
易得△ABC≌△ACD，
∴BM=DN=2，
過(guò)點(diǎn)B，D作x軸的垂線BP，DQ，則OP=AQ=2．
∵∠BAD=90°，
∴∠BAP+∠DAQ=90°，
又∵∠BAP+∠ABP=90°，
∴∠BAP=∠ADQ，
∴△OBP∽△DAQ，
∴=，
即=，
∴DQ=4，
則D的坐標(biāo)是（2，4）．

（2）（3）設(shè)直線OD的解析式是y=kx，把（2，4）代入解得k=2，
因而函數(shù)解析式是y=2x，
在直角△OBP中，根據(jù)勾股定理得到OB=，
∴OE=OB=，
即H點(diǎn)的縱坐標(biāo)是，
把y=代入y=2x，得到x=，
則H點(diǎn)的坐標(biāo)是（，），
設(shè)反比例函數(shù)的解析式是y=，把H點(diǎn)的坐標(biāo)（，）代入解得k=，
則解析式是y=，
在直角△ADQ中，根據(jù)勾股定理得到OD=2，
∴OG=OD=2，
則I點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2，
把x=2代入解析式得到y(tǒng)=，
則I點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，），
∴OH²=，OI²=HI²=，
∵+=，
即AH²+HI²=AI²，
∴△AHI是一個(gè)直角三角形，
∴△AHI的面積是•÷2=．
分析：（1）點(diǎn)B，D到y(tǒng)軸的距離相等，因而兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)一定互為相反數(shù)，即D的橫坐標(biāo)是2，并且易證△OBP∽△DAQ，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，就可以求出D點(diǎn)的縱坐標(biāo)．
（2）根據(jù)OE=OB，就可以得到E點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即H的縱坐標(biāo)．H又在直線CD上，CD的解析式易求得，則H的坐標(biāo)就可以求出．根據(jù)待定系數(shù)法就可以求出反比例函數(shù)的解析式，進(jìn)而求出點(diǎn)I的坐標(biāo)．
（3）中的問(wèn)題，先驗(yàn)證△AHI是一個(gè)直角三角形，可以根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求出三角形的三邊的長(zhǎng)，判斷是否是直角三角形，若是，面積就可以求出．
點(diǎn)評(píng)：本題是一個(gè)函數(shù)與矩形相結(jié)合的題目，正確的審題，先證明三角形是直角三角形可以簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程．