Question

如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)G是BC邊上任意一點(diǎn)，DE⊥AG于E，BF∥DE，交AG于F．
（1）求證：△AED≌△BFA；
（2）猜想AF、BF、EF三者之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；
（3）將△ABF繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)，使得AB與AD重合，記此時點(diǎn)F的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F′．若正方形邊長為3，求點(diǎn)F′與旋轉(zhuǎn)前的圖中點(diǎn)E之間的距離．

Answer 1

分析：（1）由四邊形ABCD為正方形，可得出∠BAD為90°，AB=AD，進(jìn)而得到∠BAG與∠EAD互余，又DE垂直于AG，得到∠EAD與∠ADE互余，根據(jù)同角的余角相等可得出∠ADE=∠BAF，利用AAS可得出三角形ABF與三角形ADE全等，
（2）猜想AF、BF、EF三者之間的數(shù)量關(guān)系為AF-AE=EF，利用全等三角的對應(yīng)邊相等可得出BF=AE，由AF-AE=EF，等量代換可得證；
（3）將△ABF繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)，使得AB與AD重合，記此時點(diǎn)F的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F′，連接EF′，如圖所示，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出∠FAF′為直角，AF=AF′，由第一問的全等可得出AF=DE，等量代換可得出DE=AF′=AF，再利用同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行得到AF′與DE平行，根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形可得出AEDF′為平行四邊形，再由一個角為直角的平行四邊形為矩形可得出AEDF′為矩形，根據(jù)矩形的對角線相等可得出EF′=AD，由AD的長即可求出EF′的長．

解答：（1）證明：如圖，∵正方形ABCD，
∴AB=AD，∠BAD=∠BAG+∠EAD=90°，
∵DE⊥AG，
∴∠AED=90°，
∴∠EAD+∠ADE=90°，
∴∠ADE=∠BAF，
又∵BF∥DE，
∴∠AFB=∠AED=90°，
在△AED和△BFA中，

∠AED=∠AFB ∠ADE=∠BAF AD=AB

，
∴△AED≌△BFA（AAS）；

（2）猜想AF、BF、EF三者之間的數(shù)量關(guān)系為AF-AE=EF，
理由如下：
證明：∵△AED≌△BFA，
∴BF=AE，
∵AF-AE=EF，
∴AF-BF=EF；

（3）解：如圖，將△ABF繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到△ADF′，使B與D重合，連接F′E，
根據(jù)題意知：∠FAF′=90°，DE=AF′=AF，
∴∠F′AE=∠AED=90°，即∠F′AE+∠AED=180°，
∴AF′∥ED，
∴四邊形AEDF′為平行四邊形，又∠AED=90°，
∴四邊形AEDF′是矩形，
∵AD=3，
∴EF′=AD=3．

點(diǎn)評：此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．