Question

已知，如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且BE=CF．
求證：AE⊥BF．

Answer 1

證明：在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠C=90°，
在△ABE和△BCF中，，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE=∠CBF，
又∵∠ABF+∠CBF=∠ABC=90°，
∴∠BAE+∠ABF=90°，
設(shè)AE、BF相交于點(diǎn)G，
則∠AGB=180°-（∠BAE+∠ABF）=180°-90°=90°，
∴AE⊥BF．
分析：根據(jù)正方形的四條邊都相等可得AB=BC，每一個(gè)角都是直角可得∠ABC=∠C=90°，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△BCF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠BAE=∠CBF，再根據(jù)正方形的四個(gè)角都是直角可得∠ABF+∠CBF=90°，然后求出∠BAE+∠ABF=90°，設(shè)AE、BF相交于點(diǎn)G，進(jìn)而得到∠AGB=90°，再根據(jù)垂直的定義得證．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及垂直的定義，求出兩三角形全等，從而得到∠BAE=∠CBF是解題的關(guān)鍵．