Question

如圖，AB是圓O的直徑，AD，BC，DC均為切線，求證：
（1）DC=AD+BC；
（2）∠DOC=90°．

Answer 1

考點：切線的性質

專題：證明題

分析：（1）連接OE，由AD，BC，DC都為圓的切線，利用切線長定理得到DA=DE，CE=CB，由CD=DE+EC，等量代換即可得證；
（2）由DA=DE，OD為公共邊，且夾角相等，利用SAS得到三角形AOD與三角形EOD全等，同理得到三角形EOC與三角形BOC全等，利用全等三角形的對應角相等得到兩對角相等，再利用平角的定義及等式的性質即可得證．

解答：證明：（1）連接OE，
∵AD，BC，DC均為圓O的切線，
∴DA=DE，BC=EC，
∴DC=DE+EC=AD+BC；
（2）連接OD，
∵AD，BC，DC均為圓O的切線，
∴DO、CO分別平分∠ADE、∠BCE，
∴∠ADO=∠EDO，∠ECO=∠BCO，
在△AOD和△EOD中，

AD=ED ∠ADO=∠EDO OD=OD

，
∴△AOD≌△EOD（SAS），
同理△ECO≌△BCO，
∴∠AOD=∠EOD，∠EOC=∠BOC，
∵∠AOD+∠DOE+∠EOC+∠COB=180°，
∴∠DOE+∠EOC=90°，
則∠DOC=90°．

點評：此題考查了切線的性質，切線長定理，全等三角形的判定與性質，熟練掌握切線的性質是解本題的關鍵．