Question

（2012•安溪縣質(zhì)檢）如圖，BC為半圓O的直徑，D為AC的中點，四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點E．
（1）求證：△ABE∽△DBC；
（2）若AB=3，BC=5，cos∠ABE=

2

5

5

，求ED的長．

Answer 1

分析：（1）由BC為半圓的直徑，可得∠BAC=∠BDC=90°，又由∠ABD=∠CBD，根據(jù)有兩角對應(yīng)相等的三角形相似，即可證得△ABE與△DBC相似；
（2）由∠ABD=∠CBD，得出cos∠ABE=cos∠CBD=

2

5

5

，再利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出BD，DE的長即可得出答案．

解答：解：（1）∵BC為半圓的直徑，
∴∠BAC=∠BDC=90°，
∵

AD

=

DC

，
∴∠ABD=∠CBD，
∴△ABE∽△DBC；

（2）∵∠ABD=∠CBD，
∴cos∠ABE=cos∠CBD=

2

5

5

，
∵∠BAC=∠BDC=90°，
∴cos∠ABE=

AB

BE

=

3

BE

=

2

5

5

，
解得：BE=

3 5

2

，
cos∠CBD=

BD

BC

=

BD

5

=

2

5

5

，
解得：BD=2

5

，
故ED的長為：BD-BE=2

5

-

3 5

2

=

5

2

．

點評：此題考查了相似三角形的判定與圓周角的性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是得出cos∠ABE=cos∠CBD=

2

5

5

．