Question

如圖，四邊形ABDC中，AD平分∠BAC，DB=DC，
（1）判斷點(diǎn)D到AB與AC的距離關(guān)系？并用一句話敘述理由；
（2）試說(shuō)明△ABC是等腰三角形．

Answer 1

解：（1）點(diǎn)D到AB與AC的距離相等．
理由如下：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．

（2）作DM⊥AB交AB延長(zhǎng)線于M，DN⊥AC交AC延長(zhǎng)線于N，
∵AD平分∠BAC，
∴DM=DN，
∵DB=DC，
∴Rt△BMD≌Rt△NDC（HL），
∴BM=CN，
∵AD=AD，DM=DN，
∴△AMD≌△AND（HL），
∴AM=AN，
∴AB=AC．
分析：（1）點(diǎn)D到AB與AC的距離相等．理由是角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．
（2）作DM⊥AB交AB延長(zhǎng)線于M，DN⊥AC交AC延長(zhǎng)線于N，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可證DM=DN，根據(jù)HL可證出Rt△BMD≌Rt△NDC，得BM=CN，根據(jù)HL再證出△AMD≌△AND得AM=AN，即證AB=AC．
點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了三角形全等的判定及性質(zhì)、等腰三角形的判定；普通兩個(gè)三角形全等共有四個(gè)定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，無(wú)法證明三角形全等．注意角平分線的性質(zhì)運(yùn)用非常廣泛．