Question

已知一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）和反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A（1，1）．
（1）求兩個(gè)函數(shù)的解析式；
（2）若點(diǎn)B是x軸上一點(diǎn)，且△AOB是直角三角形，求B點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）在（2）條件中，把直角三角形改成等腰三角形，直接寫出B點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式求出k的值，然后把k的值以及點(diǎn)A的坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式求出b的值，從而得解；
（2）先求出AO與x軸的夾角，再分AO是直角邊與斜邊兩種情況利用銳角三角函數(shù)值求出OB的長(zhǎng)度，從而求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（3）利用勾股定理求出AO得到長(zhǎng)度，然后分①AO是底邊時(shí)，②AO是腰長(zhǎng)時(shí)兩種情況解答．
解答：解：（1）把點(diǎn)A（1，1）代入反比例函數(shù)解析式得，=1，
解得k=2，
∴反比例函數(shù)解析式為y=；
又∵點(diǎn)A（1，1）也在直線y=kx+b上，
∴2×1+b=1，
解得b=-1，
∴直線的解析式為y=2x-1；

（2）∵A點(diǎn)坐標(biāo)為A（1，1），
∴AO==，且AO與x軸的夾角為45°，
如圖1，①當(dāng)AO為斜邊時(shí)，OB=AB=1，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），
②當(dāng)AO為直角邊時(shí)，OB=AO=2，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），
綜上所述，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0）或（2，0）；


（3）如圖2所示，①AO是底邊時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0）；
②AO是腰長(zhǎng)時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0）或（，0）或（-，0）．
綜上所述，點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（1，0）或（2，0）或（，0）或（-，0）．
點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)反比例函數(shù)的綜合考查，有待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，等腰直角三角形以及直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意作出圖形更加形象直觀且不容易出錯(cuò)．