Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△AOB為等腰直角三角形，A（4，4）
（1）求B點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）若C為x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，以AC為直角邊作等腰直角△ACD，∠ACD=90°，連OD，求∠AOD的度數(shù)；
（3）過(guò)點(diǎn)A作y軸的垂線交y軸于E，F(xiàn)為x軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，G在EF的延長(zhǎng)線上，以EG為直角邊作等腰Rt△EGH，過(guò)A作x軸垂線交EH于點(diǎn)M，連FM，等式=1是否成立？若成立，請(qǐng)證明：若不成立，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）因?yàn)椤鰽OB為等腰直角三角形，A（4，4），作AE⊥OB于E，則B點(diǎn)坐標(biāo)可求；
（2）作AE⊥OB于E，DF⊥OB于F，求證△DFC≌△CEA，再根據(jù)等量變換，證明△AOB為等腰直角三角形，則∠AOD的度數(shù)可求；
（3）等式成立．在AM上截取AN=OF，連EN，易證△EAN≌△EOF，再根據(jù)角與角之間的關(guān)系，證明△NEM≌△FEM，則有AM-MF=OF，即可求證等式成立．
解答：解：（1）作AE⊥OB于E，
∵A（4，4），
∴OE=4，
∵△AOB為等腰直角三角形，且AE⊥OB，
∴OE=EB=4，
∴OB=8，
∴B（8，0）；

（2）作AE⊥OB于E，DF⊥OB于F，
∵△ACD為等腰直角三角形，
∴AC=DC，∠ACD=90°
即∠ACF+∠DCF=90°，
∵∠FDC+∠DCF=90°，
∴∠ACF=∠FDC，
在△DFC和△CEA中，
∴△DFC≌△CEA，
∴EC=DF，F(xiàn)C=AE，
∵A（4，4），
∴AE=OE=4，
∴FC=OE，即OF+EF=CE+EF，
∴OF=CE，
∴OF=DF，
∴∠DOF=45°，
∵△AOB為等腰直角三角形，
∴∠AOB=45°，
∴∠AOD=∠AOB+∠DOF=90°；

方法一：過(guò)C作CK⊥x軸交OA的延長(zhǎng)線于K，
則△OCK為等腰直角三角形，OC=CK，∠K=45°，
又∵△ACD為等腰Rt△，
∴∠ACK=90°-∠OCA=∠DCO，AC=DC，
∴△ACK≌△DCO（SAS），
∴∠DOC=∠K=45°，
∴∠AOD=∠AOB+∠DOC=90°；


（3）成立，理由如下：
在AM上截取AN=OF，連EN．
∵A（4，4），
∴AE=OE=4，
又∵∠EAN=∠EOF=90°，AN=OF，
∴△EAN≌△EOF（SAS），
∴∠OEF=∠AEN，EF=EN，
又∵△EGH為等腰直角三角形，
∴∠GEH=45°，即∠OEF+∠OEM=45°，
∴∠AEN+∠OEM=45°
又∵∠AEO=90°，
∴∠NEM=45°=∠FEM，
又∵EM=EM，
∴△NEM≌△FEM（SAS），
∴MN=MF，
∴AM-MF=AM-MN=AN，
∴AM-MF=OF，
即；

方法二：在x軸的負(fù)半軸上截取ON=AM，連EN，MN，
則△EAM≌△EON（SAS），EN=EM，∠NEO=∠MEA，
即∠NEF+∠FEO=∠MEA，而∠MEA+∠MEO=90°，
∴∠NEF+∠FEO+∠MEO=90°，而∠FEO+∠MEO=45°，
∴∠NEF=45°=∠MEF，∴△NEF≌△MEF（SAS），∴NF=MF，
∴AM=OF=OF+NF=OF+MF，即．
注：本題第（3）問(wèn)的原型：已知正方形AEOP，∠GEH=45°，
將∠GEH的頂點(diǎn)E與正方形的頂點(diǎn)E重合，∠GEH的兩邊分別
交PO、AP的延長(zhǎng)線于F、M，求證：AM=MF+OF．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的判定、等腰三角形的性質(zhì)和坐標(biāo)與圖形性質(zhì)結(jié)合求解，綜合性強(qiáng)，難度較大．考查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力．