Question

（1）【操作發(fā)現(xiàn)】：

如圖①，D是等邊△ABC邊BA上一動點（點D與點B不重合），連接DC，以DC為邊在BC上方作等邊△DCF，連接AF．線段AF與BD之間的數(shù)量關(guān)系是______．
（2）【類比猜想】：
如圖②，當(dāng)動點D運動至等邊△ABC邊BA的延長線上時，其他作法與（1）相同，猜想AF與BD在（1）中的結(jié)論是否仍然成立？并加以證明．
（3）【深入探究】
圖③，當(dāng)動點D在等邊△ABC邊BA上運動時（點D與點B不重合）連接DC，以DC為邊在BC上方、下方分別作等邊△DCF和等邊△DCF′，連接AF、BF′，探究AF、BF′與AB有何數(shù)量關(guān)系？并證明你探究的結(jié)論．

Answer 1

解：（1）∵△ABC和△DCF都是等邊三角形，
∴AC=BC，CD=CF，∠ACB=∠DCF=60°，
∴∠ACB-∠ACD=∠DCF-∠ACD，
即∠BCD=∠ACF，
在△BCD和△ACF中，
，
∴△BCD≌△ACF（SAS），
∴AF=BD；

（2）結(jié)論依然成立．
理由如下：∵△ABC和△DCF都是等邊三角形，
∴AC=BC，CD=CF，∠ACB=∠DCF=60°，
∴∠ACB+∠ACD=∠DCF+∠ACD，
即∠BCD=∠ACF，
在△BCD和△ACF中，
，
∴△BCD≌△ACF（SAS），
∴AF=BD；

（3）AF+BF′=AB．
證明如下：由（1）知，△BCD≌△ACF（SAS），
∴BD=AF，
同理可證，△BCF′≌△DCA（SAS），
∴BF′=AD，
∴AF+BF′=AB．
分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AC=BC，CD=CF，∠ACB=∠DCF，再求出∠BCD=∠ACF，然后利用“邊角邊”證明△BCD和△ACF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等證明即可；
（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AC=BC，CD=CF，∠ACB=∠DCF，再求出∠BCD=∠ACF，然后利用“邊角邊”證明△BCD和△ACF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等證明即可；
（3）同理可證△BCD和△ACF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BD=AF，△BCF′和△DCA全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BF′=AD，即可得解．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，熟記等邊三角形的性質(zhì)求出三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵．